Ответы к странице 73

296. Плотность меди равна $8,9 * 10^3$ $кг/м^3$. Найдите массу медной плитки, длина которой $2,5 * 10^{-1}$ м, ширина − 12 см, а высота − 0,02 м.

Решение:

1) 12 (см) = $12 * 10^{-2}$ (м) = $1,2 * 10^{-1}$ (м) − ширина медной плитки в метрах;
2) 0,02 (м) = 2 * 10^{−2} (м) − высота медной плитки в стандартном виде;
3) $2,5 * 10^{-1} * 1,2 * 10^{-1} * 2 * 10^{-2} = (2,5 * 1,2 * 2) * (10^{-1} * 10^{-1} * 10^{-2}) = 6 * 10^{-4} (м^3)$ − объем медной плитки;
4) $8,9 * 10^3 * 6 * 10^{-4} = (8,9 * 6) * (10^3 * 10^{-4}) = 53,4 * 10^{-1} = 5,34$ (кг) − масса медной плитки.
Ответ: 5,34 кг

297. Масса Земли равна $6 * 10^{24}$ кг, а Луны − $7,4 * 10^{22}$ кг. Во сколько раз масса Луны меньше массы земли? Ответ округлите до единицы.

Решение:

$\frac{6 * 10^{24}}{7,4 * 10^{22}} = \frac{60 * 10^{2}}{74} = \frac{6000}{74} = \frac{3000}{37} = 81\frac{3}{37} ≈ 81$ (раз) − масса Луны меньше массы земли.
Ответ: в 81 раз.

298. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:
1) $(\frac{a^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} - \frac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-1}}) : (\frac{b}{a^2})^{-1}$;
2) $\frac{b^{-2} - 2}{b^{-2}} - \frac{b^{-4} - 4}{b^{-2}} * \frac{1}{b^{-2} - 2}$;
3) $\frac{5c^{-3}}{c^{-3} - 3} - \frac{c^{-3} + 6}{2c^{-3} - 6} * \frac{90}{c^{-6} + 6c^{-3}}$;
4) $(\frac{m^{-4}}{m^{-4} - 4} - \frac{3m^{-4}}{m^{-8} - 8m^{-4} + 16}) * \frac{16 - m^{-8}}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4}$.

Решение:

1) $(\frac{a^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} - \frac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-1}}) : (\frac{b}{a^2})^{-1} = \frac{(a^{-1})^2 - (a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})}{a^{-1}(a^{-1} + b^{-1})} : \frac{a^2}{b} = \frac{a^{-2} - (a^{-2} - b^{-2})}{a^{-1}(a^{-1} + b^{-1})} * \frac{b}{a^2} = \frac{a^{-2} - a^{-2} + b^{-2}}{a^{-1}(a^{-1} + b^{-1})} * \frac{b}{a^2} = \frac{b^{-2}}{a^{-1}(a^{-1} + b^{-1})} * \frac{b}{a^2} = \frac{b^{-1}}{a(a^{-1} + b^{-1})} = \frac{b^{-1}}{ab^{-1}} = \frac{1}{a}$

2) $\frac{b^{-2} - 2}{b^{-2}} - \frac{b^{-4} - 4}{b^{-2}} * \frac{1}{b^{-2} - 2} = \frac{b^{-2} - 2}{b^{-2}} - \frac{(b^{-2} - 2)(b^{-2} + 2)}{b^{-2}} * \frac{1}{b^{-2} - 2} = \frac{b^{-2} - 2}{b^{-2}} - \frac{b^{-2} + 2}{b^{-2}} = \frac{b^{-2} - 2 - (b^{-2} + 2)}{b^{-2}} = \frac{b^{-2} - 2 - b^{-2} - 2}{b^{-2}} = \frac{-4}{b^{-2}} = -4b^2$

3) $\frac{5c^{-3}}{c^{-3} - 3} - \frac{c^{-3} + 6}{2c^{-3} - 6} * \frac{90}{c^{-6} + 6c^{-3}} = \frac{5c^{-3}}{c^{-3} - 3} - \frac{c^{-3} + 6}{2(c^{-3} - 3)} * \frac{90}{c^{-3}(c^{-3} + 6)} = \frac{5c^{-3}}{c^{-3} - 3} - \frac{1}{c^{-3} - 3} * \frac{45}{c^{-3}} = \frac{5c^{-3}}{c^{-3} - 3} - \frac{45}{c^{-3}(c^{-3} - 3)} = \frac{5c^{-6} - 45}{c^{-3}(c^{-3} - 3)} = \frac{5(c^{-6} - 9)}{c^{-3}(c^{-3} - 3)} = \frac{5(c^{-3} - 3)(c^{-3} + 3)}{c^{-3}(c^{-3} - 3)} = \frac{5(c^{-3} + 3)}{c^{-3}} = 5c^3(c^{-3} + 3) = 5 + 15c^3$

4) $(\frac{m^{-4}}{m^{-4} - 4} - \frac{3m^{-4}}{m^{-8} - 8m^{-4} + 16}) * \frac{16 - m^{-8}}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4} = (\frac{m^{-4}}{m^{-4} - 4} - \frac{3m^{-4}}{(m^{-4} - 4)^2}) * \frac{16 - m^{-8}}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4} = \frac{m^{-4}(m^{-4} - 4) - 3m^{-4}}{(m^{-4} - 4)^2} * \frac{(4 - m^{-4})(4 + m^{-4})}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4} = \frac{m^{-8} - 4m^{-4} - 3m^{-4}}{(m^{-4} - 4)^2} * \frac{(4 - m^{-4})(4 + m^{-4})}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4} = \frac{m^{-8} - 7m^{-4}}{(m^{-4} - 4)^2} * \frac{(4 - m^{-4})(4 + m^{-4})}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4} = \frac{m^{-4}(m^{-4} - 7)}{(4 - m^{-4})^2} * \frac{(4 - m^{-4})(4 + m^{-4})}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4} = \frac{m^{-4}}{4 - m^{-4}} * \frac{4 + m^{-4}}{1} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4} = \frac{m^{-4}(m^{-4} + 4)}{4 - m^{-4}} - \frac{8m^{-4}}{4 - m^{-4}} = \frac{m^{-8} + 4m^{-4} - 8m^{-4}}{4 - m^{-4}} = \frac{m^{-8} - 4m^{-4}}{4 - m^{-4}} = -\frac{m^{-4}(m^{-4} - 4)}{m^{-4} - 4} = -m^{-4} = -\frac{1}{m^4}$

299. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательнм показателем:
1) $\frac{a^{-2} + 5}{a^{-4} - 6a^{-2} + 9} : \frac{a^{-4} - 25}{4a^{-2} - 12} - \frac{2}{a^{-2} - 5}$;
2) $(b^{-1} - \frac{5b^{-1} - 36}{b^{-1} - 7}) * (2b^{-1} + \frac{2b^{-1}}{b^{-1} - 7})^{-1}$.

Решение:

1) $\frac{a^{-2} + 5}{a^{-4} - 6a^{-2} + 9} : \frac{a^{-4} - 25}{4a^{-2} - 12} - \frac{2}{a^{-2} - 5} = \frac{a^{-2} + 5}{(a^{-2} - 3)^2} : \frac{(a^{-2} - 5)(a^{-2} + 5)}{4(a^{-2} - 3)} - \frac{2}{a^{-2} - 5} = \frac{a^{-2} + 5}{(a^{-2} - 3)^2} * \frac{4(a^{-2} - 3)}{(a^{-2} - 5)(a^{-2} + 5)} - \frac{2}{a^{-2} - 5} = \frac{1}{a^{-2} - 3} * \frac{4}{a^{-2} - 5} - \frac{2}{a^{-2} - 5} = \frac{4}{(a^{-2} - 3)(a^{-2} - 5)} - \frac{2}{a^{-2} - 5} = \frac{4 - 2(a^{-2} - 3)}{(a^{-2} - 3)(a^{-2} - 5)} = \frac{4 - 2a^{-2} + 6}{(a^{-2} - 3)(a^{-2} - 5)} = \frac{-2a^{-2} + 10}{(a^{-2} - 3)(a^{-2} - 5)} = \frac{-2(a^{-2} - 5)}{(a^{-2} - 3)(a^{-2} - 5)} = \frac{-2}{a^{-2} - 3} = -\frac{2}{\frac{1}{a^2} - 3} = -\frac{2}{\frac{1 - 3a^2}{a^2}} = -\frac{2a^2}{1 - 3a^2} = \frac{2a^2}{3a^2 - 1}$

2) $(b^{-1} - \frac{5b^{-1} - 36}{b^{-1} - 7}) * (2b^{-1} + \frac{2b^{-1}}{b^{-1} - 7})^{-1} = \frac{b^{-1}(b^{-1} - 7) - (5b^{-1} - 36)}{b^{-1} - 7} * (\frac{2b^{-1}(b^{-1} - 7) + 2b^{-1}}{b^{-1} - 7})^{-1} = \frac{b^{-2} - 7b^{-1} - 5b^{-1} + 36}{b^{-1} - 7} * \frac{b^{-1} - 7}{2b^{-2} - 14b^{-1} + 2b^{-1}} = \frac{b^{-2} - 12b^{-1} + 36}{1} * \frac{1}{2b^{-2} - 12b^{-1}} = \frac{(b^{-1} - 6)^2}{2b^{-1}(b^{-1} - 6)} = \frac{b^{-1} - 6}{2b^{-1}} = \frac{\frac{1}{b} - 6}{2b^{-1}} = \frac{b * \frac{1 - 6b}{b}}{2} = \frac{1 - 6b}{2}$

300. Порядок числа a равен −4, а порядок числа b равен 3. Каким может быть порядок значения выражения:
1) ab;
2) a + b;
3) a + 10b;
4) 10a + 0,1b?

Решение:

1) $ab = 10^{-4} * 10^3$
$10^{-1} ≤ ab < 10^1$
Ответ: порядок значения выражения может быть −1 или 0.

2) $a + b = 10^{-4} + 10^3$
$10^{-4} + 10^3 ≤ a + b < 10^{-3} + 10^4$
Ответ: порядок значения выражения может быть 3 или 4.

3) $a + 10b = 10^{-4} + 10 * 10^3 = 10^{-4} + 10^4$
$10^{-4} + 10^4 ≤ a + 10b < 10^5 + 10^{-3}$
Ответ: порядок значения выражения может быть 4 или 5.

4) $10a + 0,1b = 10 * 10^{-4} + 10^{-1} * 10^3 = 10^{-3} + 10^2$
$10^{-3} + 10^2 ≤ 10a + 0,1b < 10^3 + 10^{-2}$
Ответ: порядок значения выражения может быть 2 или 3.

301. Порядок числа m равен 2, а порядок числа n равен 4. Каким может быть порядок значения выражения:
1) mn;
2) 0,01mn;
3) 100m + n;
4) 0,01m + n?

Решение:

1) $mn = 10^2 * 10^4 = 10^6$
$10^{6} ≤ ab < 10^8$
Ответ: порядок значения выражения может быть 6 или 7.

2) $0,01mn = 10^-2 * 10^2 * 10^4 = 10^4$
$10^{4} ≤ 0,01mn < 10^6$
Ответ: порядок значения выражения может быть 4 или 5.

3) $100m + n = 10^2 * 10^2 + 10^4 = 10^4 + 10^4$
$10^{4} + 10^4 ≤ 100m + n < 10^5 + 10^5$
Ответ: порядок значения выражения может быть 4 или 5.

4) $0,01m + n = 10^{-2} * 10^2 + 10^4 = 10^0 + 10^4$
$10^{0} + 10^4 ≤ 0,01m + n < 10 + 10^5$
Ответ: порядок значения выражения может быть 4 или 5.

302. Среднее арифметическое двух натуральных чисел равно 18. При делении большего из этих чисел на меньшее получим неполное частное 3 и остаток 4. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть:
x − меньшее число;
y − большее число.
Тогда:
y : x = 3 (ост.4)
или
3x + 4 = y
Зная, что среднее арифметическое двух натуральных чисел равно 18, составим систему уравнений:
$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{x + y}{2} = 18 |* 2 &\\ 3x + 4 = y & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x + y = 36 &\\ 3x + 4 = y & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 36 - y &\\ 3x + 4 = y & \end{cases} \end{equation*}$
3(36 − y) + 4 = y
108 − 3y + 4 = y
−3y − y = −108 − 4
−4y = −112
y = 28
x = 36 − y = 36 − 28 = 8
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 8 &\\ y = 28 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: 8 и 28

303. Благодаря мероприятиям по экономии электроэнергии за первый месяц ее расход был уменьшен на 20%, за второй − на 10% по сравнению с предыдущим, а за третий − на 5% по сравнению с предыдущим. На сколько процентов в итоге был уменьшен расход электроэнергии?

Решение:

Примем расход электроэнергии до мероприятий по ее экономии за единицу, тогда:
1) 1 − 0,2 = 0,8 − составил расход электроэнергии после первого месяца;
2) 0,8 − 0,1 * 0,8 = 0,8− 0,08 = 0,72 − составил расход электроэнергии после второго месяца;
3) 0,72 − 0,05 * 0,72 = 0,72 − 0,036 = 0,684 − составил расход электроэнергии после второго месяца;
4) (1 − 0,684) * 100% = 0,316 * 100% = 31,6% − в итоге был уменьшен расход электроэнергии.
Ответ: на 31,6%