Ответы к странице 178

723. Применяя теорему, обратную теореме Виета, решите уравнение:
1) $x^2 - 10x + 24 = 0$;
2) $x^2 + 6x + 8 = 0$;
3) $x^2 - 2x - 8 = 0$;
4) $x^2 + x - 12 = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 10x + 24 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -(-10) &\\ x_1x_2 = 24 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 10 &\\ x_1x_2 = 24 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = 4 &\\ x_2 = 6 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: 4; 6.

2) $x^2 + 6x + 8 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -6 &\\ x_1x_2 = 8 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -4 &\\ x_2 = -2 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: −4; −2.

3) $x^2 - 2x - 8 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -(-2) &\\ x_1x_2 = -8 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 2 &\\ x_1x_2 = -8 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -2 &\\ x_2 = -4 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: −2; 4.

4) $x^2 + x - 12 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -1 &\\ x_1x_2 = -12 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -4 &\\ x_2 = 3 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: −4; 3.

724. Какие из данных уравнений имеют два положительных корня, какие − два отрицательных, а какие − корни разных знаков:
1) $x^2 - 12x + 14 = 0$;
2) $x^2 + 6x - 42 = 0$;
3) $x^2 - 7x - 30 = 0$;
4) $x^2 + 16x + 10 = 0$;
5) $x^2 - 24x + 0,1 = 0$;
6) $x^2 + 20x + 3 = 0$?

Решение:

1) $x^2 - 12x + 14 = 0$
$x_1x_2 = 14 > 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − одного знака;
$x_1 + x_2 = -(-12) = 12 > 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − положительные числа.
Ответ: уравнение имеет 2 положительных корня

2) $x^2 + 6x - 42 = 0$
$x_1x_2 = -42 < 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − имеют разные знаки.
Ответ: уравнение имеет корни разных знаков

3) $x^2 - 7x - 30 = 0$
$x_1x_2 = -30 < 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − имеют разные знаки.
Ответ: уравнение имеет корни разных знаков

4) $x^2 + 16x + 10 = 0$
$x_1x_2 = 10 > 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − одного знака.
$x_1 + x_2 = -16 < 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − отрицательные числа.
Ответ: уравнение имеет 2 отрицательных корня

5) $x^2 - 24x + 0,1 = 0$
$x_1x_2 = 0,1 > 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − одного знака.
$x_1 + x_2 = -(-24) = 24 > 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − положительные числа.
Ответ: уравнение имеет 2 положительных корня

6) $x^2 + 20x + 3 = 0$
$x_1x_2 = 3 > 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − одного знака.
$x_1 + x_2 = -20 < 0$, значит $x_1$ и $x_2$ − отрицательные числа.
Ответ: уравнение имеет 2 отрицательных корня

725. Один из корней уравнения $x^2 - 10x + c = 0$ на 8 меньше другого. Найдите значение c и корни уравнения.

Решение:

$x^2 - 10x + c = 0$
$x_1 = x_2 - 8$
$x_1 + x_2 = -b$
$x_2 - 8 + x_2 = -(-10)$
$2x_2 = 10 + 8$
$2x_2 = 18$
$x_2 = 9$
$x_1 = 9 - 8$
$x_1 = 1$
$x_1x_2 = c$
c = 1 * 9 = 9
Ответ: c = 9; $x_1 = 1; x_2 = 9$.

726. Корни уравнения $x^2 + 20x + a = 0$ относятся как 7 : 3. Найдите значение a и корни уравнения.

Решение:

$x^2 + 20x + a = 0$
$\frac{x_1}{x_2} = \frac{7}{3}$
$x_1 = \frac{7}{3}x_2$
$x_1 + x_2 = -b$
$\frac{7}{3}x_2 + x_2 = -20$
$\frac{10}{3}x_2 = -20$
$x_2 = -20 : \frac{10}{3}$
$x_2 = -20 * \frac{3}{10}$
$x_2 = -2 * 3$
$x_2 = -6$
$x_1 = \frac{7}{3}x_2 = \frac{7}{3} * (-6) = 7 * (-2) = -14$
$x_1x_2 = c = a$
a = −14 * (−6)
a = 84
Ответ: a = 84; $x_1 = -14; x_2 = -6$.

727. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 7x + m = 0$ удовлетворяют условию $2x_1 - 5x_2 = 28$. Найдите корни уравнения и значение m.

Решение:

$x^2 - 7x + m = 0$
$2x_1 - 5x_2 = 28$
$2x_1 = 28 + 5x_2$
$x_1 = \frac{28 + 5x_2}{2}$
$x_1 = 14 + 2,5x_2$
$x_1 + x_2 = -b$
$14 + 2,5x_2 + x_2 = -(-7)$
$14 + 3,5x_2 = 7$
$3,5x_2 = 7 - 14$
$3,5x_2 = -7$
$x_2 = -2$
$x_1 = 14 + 2,5x_2$
$x_1 = 14 + 2,5 * (-2)$
$x_1 = 14 - 5$
$x_1 = 9$
$x_1x_2 = c = m$
m = 9 * (−2) = −18
Ответ: m = −18, $x_1 = 9, x_2 = -2.$

728. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 + 4x + n = 0$ удовлетворяют условию $3x_1 - x_2 = 8$. Найдите корни уравнения и значение n.

Решение:

$x^2 + 4x + n = 0$
$3x_1 - x_2 = 8$
$x_2 = 3x_1 - 8$
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 + 3x_1 - 8 = -4$
$4x_1 = -4 + 8$
$4x_1 = 4$
$x_1 = 1$
$x_2 = 3x_1 - 8$
$x_2 = 3 * 1 - 8$
$x_2 = -5$
$x_1x_2 = c = n$
n = 1 * (−5)
n = −5
Ответ: n = −5, $x_1 = 1, x_2 = -5.$

729. Найдите, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, корни уравнения:
1) $2x^2 - 5x + 3 = 0$;
2) $2x^2 + 5x + 3 = 0$;
3) $16x^2 - 23x + 7 = 0$;
4) $-8x^2 - 19x + 27 = 0$.

Решение:

1) $2x^2 - 5x + 3 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} &\\ x_1x_2 = \frac{c}{a} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{-5}{2} &\\ x_1x_2 = \frac{3}{2} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 2,5 &\\ x_1x_2 = 1,5 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = 1,5 &\\ x_2 = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: 1; 1,5.

2) $2x^2 + 5x + 3 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} &\\ x_1x_2 = \frac{c}{a} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{5}{2} &\\ x_1x_2 = \frac{3}{2} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -2,5 &\\ x_1x_2 = 1,5 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -1,5 &\\ x_2 = -1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: −1,5; −1.

3) $16x^2 - 23x + 7 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} &\\ x_1x_2 = \frac{c}{a} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{-23}{16} &\\ x_1x_2 = \frac{7}{16} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{23}{16} = 1\frac{7}{16} &\\ x_1x_2 = \frac{7}{16} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = \frac{7}{16} &\\ x_2 = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: $\frac{7}{16}; 1$.

4) $-8x^2 - 19x + 27 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} &\\ x_1x_2 = \frac{c}{a} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{-19}{-8} &\\ x_1x_2 = \frac{27}{-8} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} &\\ x_1x_2 = \frac{27}{-8} = -3\frac{3}{8} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -3\frac{3}{8} &\\ x_2 = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: $-3\frac{3}{8}; 1$.

730. Найдите, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, корни уравнения:
1) $7x^2 + 11x - 18 = 0$;
2) $9x^2 - 5x - 4 = 0$.

Решение:

1) $7x^2 + 11x - 18 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} &\\ x_1x_2 = \frac{c}{a} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{11}{7} &\\ x_1x_2 = \frac{-18}{7} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -1\frac{4}{7} &\\ x_1x_2 = -2\frac{4}{7} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -2\frac{4}{7} &\\ x_2 = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: $-2\frac{4}{7}; 1$.

2) $9x^2 - 5x - 4 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} &\\ x_1x_2 = \frac{c}{a} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{-5}{9} &\\ x_1x_2 = \frac{-4}{9} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{5}{9} &\\ x_1x_2 = -\frac{4}{9} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 = -\frac{4}{9} &\\ x_2 = 1 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: $-\frac{4}{9}; 1$.

731. Известно, что $x_1$ и $x_2$ − корни уравнения $x^2 - 9x + 6 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:
1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;
2) $x^2_1 + x^2_2$;
3) $(x_1 - x_2)^2$;
4) $x^3_1 + x^3_2$.

Решение:

1) $x^2 - 9x + 6 = 0$
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 + x_2 = -(-9)$
$x_1 + x_2 = 9$
$x_1x_2 = c$
$x_1x_2 = 6$
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2} = \frac{9}{6} = 1,5$
Ответ: 1,5

2) $x_1 + x_2 = 9$
$x_1x_2 = 6$
$x^2_1 + x^2_2 = x^2_1 + x^2_2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = (x^2_1 + 2x_1x_2 + x^2_2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9^2 - 2 * 6 = 81 - 12 = 69$

3) $x_1 + x_2 = 9$
$x_1x_2 = 6$
$(x_1 - x_2)^2 = x^2_1 - 2x_1x_2 + x^2_2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = (x^2_1 + 2x_1x_2 + x^2_2) - 4x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 9^2 - 4 * 6 = 81 - 24 = 57$

4) $x_1 + x_2 = 9$
$x_1x_2 = 6$
$x^3_1 + x^3_2 = (x_1 + x_2)(x^2_1 - x_1x_2 + x^2_2) = (x_1 + x_2)(x^2_1 + 2x_1x_2 + x^2_2 - 3x_1x_2) = 9((x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2) = 9 * (9^2 - 3 * 6) = 9 * (81 - 18) = 9 * 63 = 567$

732. Известно, что $x_1$ и $x_2$ − корни уравнения $x^2 + 5x - 16 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:
1) $x^2_1x_2 + x^2_2x_1$;
2) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$;
3) $|x_2 - x_1|$.

Решение:

1) $x^2 + 5x - 16 = 0$
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 + x_2 = -5$
$x_1x_2 = c$
$x_1x_2 = -16$
$x^2_1x_2 + x^2_2x_1 = x_1x_2(x_1 + x_2) = -16 * (-5) = 80$

2) $x_1 + x_2 = -5$
$x_1x_2 = -16$
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x^2_2 + x^2_1}{x_1x_2} = \frac{x^2_2 + x^2_1 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(x^2_2 + 2x_1x_2 + x^2_1) - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(x_2 + x_1)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(-5)^2 - 2 * (-16)}{-16} = \frac{25 + 32}{-16} = -\frac{57}{16} = -3\frac{9}{16}$

3) $|x_2 - x_1|$
$(|x_2 - x_1|)^2 = x^2_2 - 2x_2x_1 + x^2_1 = x^2_2 + 2x_2x_1 + x^2_1 - 4x_2x_1 = (x_2 + x_1)^2 - 4x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (-5)^2 - 4 * (-16) = 25 + 64 = 89$
$|x_2 - x_1| = \sqrt{89}$

733. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 2 меньше соответствующих корней уравнения $x^2 + 8x - 3 = 0$.

Решение:

$x^2 + 8x - 3 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -8 &\\ x_1x_2 = -3 & \end{cases} \end{equation*}$
пусть $y_1$ и $y_2$ − корни полученного уравнения, значит можно записать равенства:
$y_1 = x_1 - 2$
$y_2 = x_2 - 2$
найдем сумму и произведение корней:
$y_1 + y_2 = x_1 - 2 + x_2 - 2 = x_1 + x_2 - 4 = -8 - 4 = -12$
$y_1y_2 = (x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1x_2 - 2x_2 - 2x_1 + 4 = x_1x_2 - 2(x_2 + x_1) + 4 = -3 - 2 * (-8) + 4 = -3 + 16 + 4 = 17$
$y_1 + y_2 = -b = -12$
b = 12 − второй коэффициент
$y_1y_2 = 17$ − свободный член
тогда получим уравнение:
$y^2 + 12y + 17 = 0$

734. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 3 больше соответствующих корней уравнения $x^2 - 12x + 4 = 0$.

Решение:

$x^2 - 12x + 4 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -b &\\ x_1x_2 = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -(-12) &\\ x_1x_2 = 4 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 12 &\\ x_1x_2 = 4 & \end{cases} \end{equation*}$
пусть $y_1$ и $y_2$ − корни полученного уравнения, значит можно записать равенства:
$y_1 = x_1 + 3$
$y_2 = x_2 + 3$
найдем сумму и произведение корней:
$y_1 + y_2 = x_1 + 3 + x_2 + 3 = x_1 + x_2 + 6 = 12 + 6 = 18$
$y_1y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1x_2 + 3x_2 + 3x_1 + 9 = x_1x_2 + 3(x_2 + x_1) + 9 = 4 + 3 * 12 + 9 = 4 + 36 + 9 = 49$
$y_1 + y_2 = -b = 18$
b = −18 − второй коэффициент
$y_1y_2 = 49$ − свободный член
тогда получим уравнение:
$y^2 - 18y + 49 = 0$

735. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 3 раза меньше соответствующих корней уравнения $2x^2 - 14x + 9 = 0$.

Решение:

$2x^2 - 14x + 9 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} &\\ x_1x_2 = \frac{c}{a} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{-14}{2} &\\ x_1x_2 = \frac{9}{2} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = 7 &\\ x_1x_2 = \frac{9}{2} & \end{cases} \end{equation*}$
пусть $y_1$ и $y_2$ − корни полученного уравнения, значит можно записать равенства:
$y_1 = \frac{x_1}{3}$
$y_2 = \frac{x_2}{3}$
найдем сумму и произведение корней:
$y_1 + y_2 = \frac{x_1}{3} + \frac{x_2}{3} = \frac{x_1 + x_2}{3} = \frac{7}{3}$
$y_1y_2 = \frac{x_1}{3} * \frac{x_2}{3} = \frac{x_1x_2}{9} = \frac{\frac{9}{2}}{9} = \frac{9}{2} * \frac{1}{9} = \frac{1}{2}$
$y_1 + y_2 = -b = \frac{7}{3}$
$b = -\frac{7}{3}$ − второй коэффициент
$y_1y_2 = \frac{1}{2}$ − свободный член
тогда получим уравнение:
$y^2 - \frac{7}{3}y + \frac{1}{2} = 0$ |* 6
$6y^2 - 14y + 3 = 0$

736. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 2 раза больше соответствующих корней уравнения $2x^2 - 15x + 4 = 0$.

Решение:

$2x^2 - 15x + 4 = 0$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} &\\ x_1x_2 = \frac{c}{a} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{-15}{2} &\\ x_1x_2 = \frac{4}{2} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{15}{2} &\\ x_1x_2 = 2 & \end{cases} \end{equation*}$
пусть $y_1$ и $y_2$ − корни полученного уравнения, значит можно записать равенства:
$y_1 = 2x_1$
$y_2 = 2x_2$
найдем сумму и произведение корней:
$y_1 + y_2 = 2x_1 + 2x_2 = 2(x_1 + x_2) = 2 * \frac{15}{2} = 15$
$y_1y_2 = 2x_1 * 2x_2 = 4x_1x_2 = 4 * 2 = 8$
$y_1 + y_2 = -b = 15$
$b = -15$ − второй коэффициент
$y_1y_2 = 8$ − свободный член
тогда получим уравнение:
$y^2 - 15y + 8 = 0$