Ответы к странице 31

129. Упростите выражение:
$\frac{1}{(a - 1)(a - 3)} + \frac{1}{(a - 3)(a - 5)} + \frac{1}{(a - 5)(a - 7)}$.

Решение:

$\frac{1}{(a - 1)(a - 3)} + \frac{1}{(a - 3)(a - 5)} + \frac{1}{(a - 5)(a - 7)} = \frac{(a - 5)(a - 7) + (a - 1)(a - 7) + (a - 1)(a - 3)}{(a - 1)(a - 3)(a - 5)(a - 7)} = \frac{a^2 - 5a - 7a + 35 + a^2 - a - 7a + 7 + a^2 - a - 3a + 3}{(a - 1)(a - 3)(a - 5)(a - 7)} = \frac{3a^2 - 24a + 45}{(a - 1)(a - 3)(a - 5)(a - 7)} = \frac{3(a^2 - 8a + 15)}{(a - 1)(a^2 - 3a - 5a + 15)(a - 7)} = \frac{3(a^2 - 8a + 15)}{(a - 1)(a^2 - 8a + 15)(a - 7)} = \frac{3}{(a - 1)(a - 7)}$

130. Докажите тождество:
$\frac{1}{1 - a} + \frac{1}{1 + a} + \frac{2}{1 + a^2} + \frac{4}{1 + a^4} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$.

Решение:

$\frac{1}{1 - a} + \frac{1}{1 + a} + \frac{2}{1 + a^2} + \frac{4}{1 + a^4} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{1 + a + 1 - a}{(1 - a)(1 + a)} + \frac{2}{1 + a^2} + \frac{4}{1 + a^4} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{2}{1 - a^2} + \frac{2}{1 + a^2} + \frac{4}{1 + a^4} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{2(1 + a^2) + 2(1 - a^2)}{(1 - a^2)(1 + a^2)} + \frac{4}{1 + a^4} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{2 + 2a^2 + 2 - 2a^2}{(1 - a^2)(1 + a^2)} + \frac{4}{1 + a^4} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{4}{1 - a^4} + \frac{4}{1 + a^4} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{4(1 + a^4) + 4(1 - a^4)}{(1 - a^4)(1 + a^4)} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{4 + 4a^4 + 4 - 4a^4}{(1 - a^4)(1 + a^4)} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{8}{1 - a^8} + \frac{8}{1 + a^8} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{8(1 + a^8) + 8(1 - a^8)}{(1 - a^8)(1 + a^8)} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{8 + 8a^8 + 8 - 8a^8}{(1 - a^8)(1 + a^8)} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{16}{1 - a^{16}} + \frac{16}{1 + a^{16}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{16(1 + a^{16}) + 16(1 - a^{16})}{(1 - a^{16})(1 + a^{16})} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{16 + 16a^{16} + 16 - 16a^{16}}{(1 - a^{16})(1 + a^{16})} = \frac{32}{1 - a^{32}}$
$\frac{32}{1 - a^{32}} = \frac{32}{1 - a^{32}}$

131. Докажите тождество:
$\frac{3}{1 - a^2} + \frac{3}{1 + a^2} + \frac{6}{1 + a^4} + \frac{12}{1 + a^8} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$

Решение:

$\frac{3}{1 - a^2} + \frac{3}{1 + a^2} + \frac{6}{1 + a^4} + \frac{12}{1 + a^8} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{3(1 + a^2) + 3(1 - a^2)}{(1 - a^2)(1 + a^2)} + \frac{6}{1 + a^4} + \frac{12}{1 + a^8} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{3 + 3a^2 + 3 - 3a^2}{(1 - a^2)(1 + a^2)} + \frac{6}{1 + a^4} + \frac{12}{1 + a^8} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{6}{1 - a^4} + \frac{6}{1 + a^4} + \frac{12}{1 + a^8} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{6(1 + a^4) + 6(1 - a^4)}{(1 - a^4)(1 + a^4)} + \frac{12}{1 + a^8} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{6 + 6a^4 + 6 - 6a^4}{(1 - a^4)(1 + a^4)} + \frac{12}{1 + a^8} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{12}{1 - a^8} + \frac{12}{1 + a^8} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{12(1 + a^8) + 12(1 - a^8)}{(1 - a^8)(1 + a^8)} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{12 + 12a^8 + 12 - 12a^8}{(1 - a^8)(1 + a^8)} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{24}{1 - a^{16}} + \frac{24}{1 + a^{16}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{24(1 + a^{16}) + 24(1 - a^{16})}{(1 - a^{16})(1 + a^{16})} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{24 + 24a^{16} + 24 - 24a^{16}}{(1 - a^{16})(1 + a^{16})} = \frac{48}{1 - a^{32}}$
$\frac{48}{1 - a^{32}} = \frac{48}{1 - a^{32}}$

132. Докажите, что если $\frac{a - c}{b + c} + \frac{b - a}{a + c} + \frac{c - b}{a + b} = 1$, то $\frac{a + b}{b + c} + \frac{b + c}{a + c} + \frac{a + c}{a + b} = 4$.

Решение:

$\frac{a - c}{b + c} + \frac{b - a}{a + c} + \frac{c - b}{a + b} = 1$
$\frac{a - c}{b + c} + 1 + \frac{b - a}{a + c} + 1 + \frac{c - b}{a + b} + 1 = 1 + 3$
$\frac{a - c + b + c}{b + c} + \frac{b - a + a + c}{a + c} + \frac{c - b + a + b}{a + b} = 4$
$\frac{a + b}{b + c} + \frac{b + c}{a + c} + \frac{c + a}{a + b} = 4$

133. Найдите корень уравнения:
1) $\frac{x}{3} + \frac{x - 1}{2} = 4$;
2) $\frac{x - 4}{2} - \frac{x - 1}{5} = 3$.

Решение:

1) $\frac{x}{3} + \frac{x - 1}{2} = 4$ |* 6
2x + 3(x − 1) = 24
2x + 3x − 3 = 24
5x = 24 + 3
5x = 27
$x = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5}$
Ответ: $x = 5\frac{2}{5}$

2) $\frac{x - 4}{2} - \frac{x - 1}{5} = 3$ |* 30
15(x − 4) − 6(x − 1) = 90
15x − 60 − 6x + 6 = 90
9x = 90 + 60 − 6
9x = 144
x = 16
Ответ: x = 16

134. Решите систему уравнений:
1)
$\begin{equation*} \begin{cases} x + y = 8 &\\ 3x - 2y = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
2)
$\begin{equation*} \begin{cases} 2x + 5y = 13 &\\ 3x - 5y = -13 & \end{cases} \end{equation*}$

Решение:

1) $\begin{equation*} \begin{cases} x + y = 8 &\\ 3x - 2y = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 8 - y &\\ 3(8 - y) - 2y = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 8 - y &\\ 24 - 3y - 2y = 9 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 8 - y &\\ -5y = 9 - 24 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 8 - y &\\ -5y = -15 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 8 - 3 &\\ y = 3 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 5 &\\ y = 3 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: (5; 3)

2) $\begin{equation*} \begin{cases} 2x + 5y = 13 &\\ 3x - 5y = -13 & \end{cases} \end{equation*}$
2x + 5y + 3x − 5y = 13 − 13
5x = 0
x = 0
2 * 0 + 5y = 13
5y= 13
$y = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5}$
$\begin{equation*} \begin{cases} x = 0 &\\ y = 2\frac{3}{5} = 2,6 & \end{cases} \end{equation*}$
Ответ: (0; 2,6)

135. За первый день трехдневной гонки велосипедисты проехали $\frac{4}{15}$ всего маршрута, за второй день − $\frac{2}{5}$ всего маршрута, а за третий − оставшиеся 90 км. Какое расстояние проехали велосипедисты за три дня?

Решение:

Пусть x (км) − весь маршрут, тогда:
$\frac{4}{15}x$ (км) − проехали велосипедисты в первый день;
$\frac{2}{5}x$ (км) − проехали велосипедисты во второй день.
Так как, известно, сколько проехали велосипедисты в каждый из трех дней составим уравнение:
$\frac{4}{15}x + \frac{2}{5}x + 90 = x$ |* 15
4x + 6x + 1350 = 15x
10x − 15x = −1350
−5x = −1350
x = 270 (км) − проехали велосипедисты за три дня.
Ответ: 270 км

136. (Из болгарского фольклора) Пятеро братьев хотели разделить 20 овец так, чтобы каждый из них получил нечетное количество овец. Возможно ли это?

Решение:

Пусть 2n + 1 − нечетное число, n ∈ N, тогда по условию:
5 * (2n + 1) = 20
10n + 5 = 20
10n = 20 − 5
10n = 15
n = 1,5 − не подходит, так как 1,5 ∉ N.
Следовательно, пятеро братьев не могут разделить 20 овец так, чтобы каждый из них получил нечетное количество овец.
Ответ: нет, невозможно.

137. Верно ли утверждение, что при любом натуральном n значение выражения $(5n + 7)^2 - (n - 1)^2$ делится нацело на 48?

Решение:

$(5n + 7)^2 - (n - 1)^2 = (5n + 7 - (n - 1))(5n + 7 + n - 1) = (5n + 7 - n + 1)(6n + 6) = (4n + 8)(6n + 6) = 4(n + 2) * 6(n + 1) = 24(n + 2)(n + 1)$ − так как один из множителей n + 2 или n + 1 будет четным, а при умножении четного числа на 24 получится число которое делится на 48.

138. Укажите число, обратное числу:
1) $\frac{5}{8}$;
2) 7;
3) $-3\frac{5}{6}$;
4) $\frac{1}{14}$;
5) 0,12.

Решение:

1) $1 : \frac{5}{8} = 1 * \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$ − число обратное числу $1\frac{3}{5}$

2) $1 : 7 = \frac{1}{7}$ − число обратное числу 7

3) $1 : (-3\frac{5}{6}) = 1 : (-\frac{23}{6}) = 1 * (-\frac{6}{23}) = -\frac{6}{23}$ − число обратное числу $-3\frac{5}{6}$

4) $1 : \frac{1}{14} = 1 * \frac{14}{1} = 14$ − число обратное числу $\frac{1}{14}$

5) $1 : 0,12 = 1 : \frac{12}{100} = 1 : \frac{3}{25} = 1 * \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3}$ − число обратное числу 0,12.

139. Найдите произведение:
1) $\frac{5}{6} * \frac{3}{20}$;
2) $6 * \frac{7}{18}$;
3) $\frac{3}{8} * (-2\frac{2}{3})$.

Решение:

1) $\frac{5}{6} * \frac{3}{20} = \frac{1}{2} * \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

2) $6 * \frac{7}{18} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

3) $\frac{3}{8} * (-2\frac{2}{3}) = \frac{3}{8} * (-\frac{8}{3}) = \frac{1}{1} * (-\frac{1}{1}) = -1$