Ответы к странице 131

503. Найдите значение выражения:
1) $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$;
2) $\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}}$;
3) $\frac{\sqrt{6,3}}{\sqrt{0,7}}$;
4) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{242}}$;
5) $\frac{\sqrt{6} * \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Решение:

1) $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4$

2) $\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{150}{6}} = \sqrt{25} = 5$

3) $\frac{\sqrt{6,3}}{\sqrt{0,7}} = \sqrt{\frac{6,3}{0,7}} = \sqrt{\frac{63}{7}} = \sqrt{9} = 3$

4) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{242}} = \sqrt{\frac{98}{242}} = \sqrt{\frac{49}{121}} = \frac{7}{11}$

5) $\frac{\sqrt{6} * \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6 * 2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$

504. При каких значения a выполняется равенство:
1) $\sqrt{a^2} = a$;
2) $\sqrt{a^2} = -a$?

Решение:

1) $\sqrt{a^2} = a$
$\sqrt{a^2} = |a| $, то есть равенство выполняется при любом неотрицательном a, значит при a ≥ 0.
Ответ: при a ≥ 0

2) $\sqrt{a^2} = -a$
$\sqrt{a^2} = |a|$, то есть равенство выполняется при любом неотрицательном a, тогда
−a ≥ 0
a ≤ 0
Ответ: при a ≤ 0

505. При каких значениях a и b выполняется равенство:
1) $\sqrt{ab} = \sqrt{a} * \sqrt{b}$;
2) $\sqrt{ab} = \sqrt{-a} * \sqrt{-b}$;
3) $\sqrt{-ab} = \sqrt{a} * \sqrt{-b}$?

Решение:

1) $\sqrt{ab} = \sqrt{a} * \sqrt{b}$ при a ≥ 0 и b ≥ 0

2) $\sqrt{ab} = \sqrt{-a} * \sqrt{-b}$ при a ≤ 0 и b ≤ 0

3) $\sqrt{-ab} = \sqrt{a} * \sqrt{-b}$ при a ≥ 0 и b ≤ 0

506. Найдите значение выражения, представив предварительно подкоренное выражение в виде произведения квадратов рациональных чисел:
1) $\sqrt{18 * 32}$;
2) $\sqrt{8 * 98}$;
3) $\sqrt{3,6 * 14,4}$;
4) $\sqrt{75 * 48}$;
5) $\sqrt{288 * 50}$;
6) $\sqrt{4,5 * 72}$;
7) $\sqrt{2,7 * 1,2}$;
8) $\sqrt{80 * 45}$;
9) $\sqrt{33 * 297}$.

Решение:

1) $\sqrt{18 * 32} = \sqrt{9 * 2 * 2 * 16} = \sqrt{3^2 * 2^2 * 4^2} = \sqrt{3^2} * \sqrt{2^2} * \sqrt{4^2} = 3 * 2 * 4 = 24$

2) $\sqrt{8 * 98} = \sqrt{2 * 2 * 2 * 49 * 2} = \sqrt{2^2 * 2^2 * 7^2} = \sqrt{2^2} * \sqrt{2^2} * \sqrt{7^2} = 2 * 2 * 7 = 28$

3) $\sqrt{3,6 * 14,4} = \sqrt{36 * 0,1 * 0,1 * 144} = \sqrt{6^2 * 0,1^2 * 12^2} = \sqrt{6^2} * \sqrt{0,1^2} * \sqrt{12^2} = 6 * 0,1 * 12 = 72 * 0,1 = 7,2$

4) $\sqrt{75 * 48} = \sqrt{25 * 3 * 3 * 16} = \sqrt{5^2 * 3^2 * 4^2} = \sqrt{5^2} * \sqrt{3^2} * \sqrt{4^2} = 5 * 3 * 4 = 60$

5) $\sqrt{288 * 50} = \sqrt{144 * 2 * 2 * 25} = \sqrt{12^2 * 2^2 * 5^2} = \sqrt{12^2} * \sqrt{2^2} * \sqrt{5^2} = 12 * 2 * 5 = 120$

6) $\sqrt{4,5 * 72} = \sqrt{4,5 * 2 * 36} = \sqrt{9 * 36} = \sqrt{3^2 * 6^2} = \sqrt{3^2} * \sqrt{6^2} = 3 * 6 = 18$

7) $\sqrt{2,7 * 1,2} = \sqrt{9 * 0,3 * 0,3 * 4} = \sqrt{3^2 * 0,3^2 * 2^2} = \sqrt{3^2 * 0,3^2 * 2^2} = 3 * 0,3 * 2 = 1,8$

8) $\sqrt{80 * 45} = \sqrt{16 * 5 * 5 * 9} = \sqrt{4^2 * 5^2 * 3^2} = \sqrt{4^2} * \sqrt{5^2} * \sqrt{3^2} = 4 * 5 * 3 = 60$

9) $\sqrt{33 * 297} = \sqrt{3 * 11 * 11 * 27} = \sqrt{11^2 * 81} = \sqrt{11^2 * 9^2} = \sqrt{11^2} * \sqrt{9^2} = 11 * 9 = 99$

507. Найдите значение выражение:
1) $\sqrt{18 * 200}$;
2) $\sqrt{3,6 * 0,4}$;
3) $\sqrt{14,4 * 0,9}$;
4) $\sqrt{13 * 52}$;
5) $\sqrt{12,5 * 32}$;
6) $\sqrt{108 * 27}$.

Решение:

1) $\sqrt{18 * 200} = \sqrt{9 * 2 * 2 * 100} = \sqrt{3^2 * 2^2 * 10^2} = \sqrt{3^2} * \sqrt{2^2} * \sqrt{10^2} = 3 * 2 * 10 = 60$

2) $\sqrt{3,6 * 0,4} = \sqrt{36 * 0,1 * 0,1 * 4} = \sqrt{6^2 * 0,1^2 * 2^2} = \sqrt{6^2} * \sqrt{0,1^2} * \sqrt{2^2} = 6 * 0,1 * 2 = 1,2$

3) $\sqrt{14,4 * 0,9} = \sqrt{144 * 0,1 * 0,1 * 9} = \sqrt{12^2 * 0,1^2 * 3^2} = \sqrt{12^2} * \sqrt{0,1^2} * \sqrt{3^2} = 12 * 0,1 * 3 = 3,6$

4) $\sqrt{13 * 52} = \sqrt{13 * 4 * 13} = \sqrt{13^2 * 2^2} = \sqrt{13^2} * \sqrt{2^2} = 13 * 2 = 26$

5) $\sqrt{12,5 * 32} = \sqrt{12,5 * 2 * 16} = \sqrt{25 * 16} = \sqrt{5^2 * 4^2} = \sqrt{5^2} * \sqrt{4^2} = 5 * 4 = 20$

6) $\sqrt{108 * 27} = \sqrt{36 * 3 * 3 * 9} = \sqrt{6^2 * 3^2 * 3^2} = \sqrt{6^2} * \sqrt{3^2} * \sqrt{3^2} = 6 * 3 * 3 = 54$

508. Найдите значение выражения:
1) $\sqrt{41^2 - 40^2}$;
2) $\sqrt{145^2 - 144^2}$;
3) $\sqrt{8,5^2 - 7,5^2}$;
4) $\sqrt{21,8^2 - 18,2^2}$;
5) $\sqrt{\frac{155^2 - 134^2}{84}}$;
6) $\sqrt{\frac{139^2 - 86^2}{98,5^2 - 45,5^2}}$.

Решение:

1) $\sqrt{41^2 - 40^2} = \sqrt{(41 - 40)(41 + 40)} = \sqrt{1 * 81} = \sqrt{81} = 9$

2) $\sqrt{145^2 - 144^2} = \sqrt{(145 - 144)(145 + 144)} = \sqrt{1 * 289} = \sqrt{289} = 17$

3) $\sqrt{8,5^2 - 7,5^2} = \sqrt{(8,5 - 7,5)(8,5 + 7,5)} = \sqrt{1 * 16} = \sqrt{16} = 4$

4) $\sqrt{21,8^2 - 18,2^2} = \sqrt{(21,8 - 18,2)(21,8 + 18,2)} = \sqrt{3,6 * 40} = \sqrt{3,6 * 4 * 10} = \sqrt{36 * 4} = \sqrt{36} * \sqrt{4} = 6 * 2 = 12$

5) $\sqrt{\frac{155^2 - 134^2}{84}} = \sqrt{\frac{(155 - 134)(155 + 134)}{84}} = \sqrt{\frac{21 * 289}{84}} = \sqrt{\frac{289}{4}} = \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}} = \frac{17}{2} = 8\frac{1}{2}$

6) $\sqrt{\frac{139^2 - 86^2}{98,5^2 - 45,5^2}} = \sqrt{\frac{(139 - 86)(139 + 86)}{(98,5 - 45,5)(98,5 + 45,5)}} = \sqrt{\frac{53 * 225}{53 * 144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

509. Найдите значение выражения:
1) $\sqrt{6,8^2 - 3,2^2}$;
2) $\sqrt{98,5^2 - 97,5^2}$;
3) $\sqrt{\frac{98}{228^2 - 164^2}}$.

Решение:

1) $\sqrt{6,8^2 - 3,2^2} = \sqrt{(6,8 - 3,2)(6,8 + 3,2)} = \sqrt{3,6 * 10} = \sqrt{36} = 6$

2) $\sqrt{98,5^2 - 97,5^2} = \sqrt{(98,5 - 97,5)(98,5 + 97,5)} = \sqrt{1 * 196} = \sqrt{196} = 14$

3) $\sqrt{\frac{98}{228^2 - 164^2}} = \sqrt{\frac{98}{(228 - 164)(228 + 164)}} = \sqrt{\frac{98}{64 * 392}} = \sqrt{\frac{1}{64 * 4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{64 * 4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{64} * \sqrt{4}} = \frac{1}{8 * 2} = \frac{1}{16}$

510. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:
1) $\sqrt{b^2}$;
2) $-0,4\sqrt{c^2}$;
3) $\sqrt{a^6}$;
4) $\sqrt{m^8}$.

Решение:

1) $\sqrt{b^2} = |b|$

2) $-0,4\sqrt{c^2} = -0,4 * |c|$

3) $\sqrt{a^6} = \sqrt{(a^3)^2} = |a^3|$

4) $\sqrt{m^8} = \sqrt{(m^4)^2} = |m^4| = m^4$

511. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:
1) $1,2\sqrt{x^2}$;
2) $\sqrt{y^4}$;
3) $\sqrt{n^{10}}$.

Решение:

1) $1,2\sqrt{x^2} = 1,2 * |x|$

2) $\sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2} = |y^2| = y^2$

3) $\sqrt{n^{10}} = \sqrt{(n^{5})^2} = |n^5|$

512. Упростите выражение:
1) $\sqrt{m^2}$, если m > 0;
2) $\sqrt{n^2}$, если n < 0;
3) $\sqrt{16p^2}$, если p ≥ 0;
4) $\sqrt{0,36k^2}$, если k ≤ 0;
5) $\sqrt{c^{12}}$;
6) $\sqrt{0,25b^{14}}$, если b ≤ 0;
7) $\sqrt{81x^4y^2}$, если y ≥ 0;
8) $\sqrt{0,01a^6b^{10}}$, если a ≤ 0, b ≥ 0;
9) $-1,2x\sqrt{64x^{18}}$, если x ≤ 0;
10) $\frac{\sqrt{a^{12}b^{22}c^{36}}}{a^4b^8c^{10}}$, если b < 0;
11) $\frac{3,3a^4}{b^3}\sqrt{\frac{b^{24}}{121a^{26}}}$, если a < 0;
12) $-0,5m^5\sqrt{1,96m^6n^8}$, если m ≤ 0.

Решение:

1) $\sqrt{m^2} = |m| = m$, если m > 0

2) $\sqrt{n^2} = |n| = -n$, если n < 0

3) $\sqrt{16p^2} = |4p| = 4p$, если p ≥ 0

4) $\sqrt{0,36k^2} = |0,6k| = -0,6k$, если k ≤ 0

5) $\sqrt{c^{12}} = \sqrt{(c^{6})^2} = |c^6| = c^6$

6) $\sqrt{0,25b^{14}} = \sqrt{(0,5b^7)^2} = |0,5b^7| = -0,5b^7$, если b ≤ 0

7) $\sqrt{81x^4y^2} = \sqrt{(9x^2y)^2} = |9x^2y| = 9x^2y$, если y ≥ 0

8) $\sqrt{0,01a^6b^{10}} = \sqrt{(0,1a^3b^5)^2} = |0,1a^3b^5| = 0,1 * (-a^3) * b^5 = -0,1a^3b^5$, если a ≤ 0, b ≥ 0

9) $-1,2x\sqrt{64x^{18}} = -1,2x\sqrt{(8x^{9})^2} = -1,2x * |8x^9| = -1,2x * (-8x^9) = 9,6x^{10}$, если x ≤ 0

10) $\frac{\sqrt{a^{12}b^{22}c^{36}}}{a^4b^8c^{10}} = \frac{\sqrt{(a^{6}b^{11}c^{18})^2}}{a^4b^8c^{10}} = \frac{|a^{6}b^{11}c^{18}|}{a^4b^8c^{10}} = \frac{a^{6} * (-b^{11}) * c^{18}}{a^4b^8c^{10}} = -a^2b^3c^8$, если b < 0

11) $\frac{3,3a^4}{b^3}\sqrt{\frac{b^{24}}{121a^{26}}} = \frac{3,3a^4}{b^3} * \frac{\sqrt{b^{24}}}{\sqrt{121a^{26}}} = \frac{3,3a^4}{b^3} * \frac{\sqrt{(b^{12})^2}}{\sqrt{(11a^{13})^2}} = \frac{3,3a^4}{b^3} * \frac{|b^{12}|}{|11a^{13}|} = \frac{3,3a^4}{b^3} * \frac{b^{12}}{-11a^{13}} = -\frac{33a^4}{10b^3} * \frac{b^{12}}{11a^{13}} = -\frac{3}{10} * \frac{b^{9}}{a^{9}} = -0,3\frac{b^{9}}{a^{9}}$, если a < 0

12) $-0,5m^5\sqrt{1,96m^6n^8} = -0,5m^5\sqrt{(1,4m^3n^4)^2} = -0,5m^5 * |1,4m^3n^4| = -0,5m^5 * (-1,4m^3n^4) = 0,7m^8n^4$, если m ≤ 0