Ответы к странице 190

§23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

Вопросы

1. Какое уравнение называют биквадратным?

Ответ:

Уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где x − переменная, a, b, c − некоторые числа, причем a ≠ 0, называют биквадратным уравнением.

Упражнения

775. Решите уравнение:
1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$;
2) $x^4 - 5x^2 + 6 = 0$;
3) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$;
4) $x^4 + 14x^2 - 32 = 0$;
5) $4x^4 - 9x^2 + 2 = 0$;
6) $3x^4 + 8x^2 - 3 = 0$.

Решение:

1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$
$x^2 = y$, y ≥ 0
$y^2 - 5y + 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x^2 = 4$
x = ±2
или
$x^2 = 1$
x = ±1
Ответ: −2; −1; 1; 2.

2) $x^4 - 5x^2 + 6 = 0$
$x^2 = y$, y ≥ 0
$y^2 - 5y + 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x^2 = 3$
$x = ±\sqrt{3}$
или
$x^2 = 2$
$x = ±\sqrt{2}$
Ответ: $-\sqrt{3}; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; \sqrt{3}$.

3) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$
$x^2 = y$, y ≥ 0
$y^2 - 8y - 9 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * (-9) = 64 + 36 = 100 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ − не удовлетворяет условию, так как y ≥ 0.
$x^2 = 9$
x = ±3
Ответ: −3; 3.

4) $x^4 + 14x^2 - 32 = 0$
$x^2 = y$, y ≥ 0
$y^2 + 14y - 32 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 * 1 * (-32) = 196 + 128 = 324 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{324}}{2 * 1} = \frac{-14 + 18}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - \sqrt{324}}{2 * 1} = \frac{-14 - 18}{2} = \frac{-32}{2} = -16$ − не удовлетворяет условию, так как y ≥ 0.
$x^2 = 2$
$x = ±\sqrt{2}$
Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

5) $4x^4 - 9x^2 + 2 = 0$
$x^2 = y$, y ≥ 0
$4y^2 - 9y + 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 4 * 2 = 81 - 32 = 49 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 * 4} = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 * 4} = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$x^2 = 2$
$x = ±\sqrt{2}$
или
$x^2 = \frac{1}{4}$
$x = ±\frac{1}{2}$
Ответ: $-\sqrt{2}; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \sqrt{2}$.

6) $3x^4 + 8x^2 - 3 = 0$
$x^2 = y$, y ≥ 0
$3y^2 + 8y - 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 3 * (-3) = 64 + 36 = 100 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 * 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 * 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$ − не удовлетворяет условию, так как y ≥ 0.
$x^2 = \frac{1}{3}$
$x = ±\sqrt{\frac{1}{3}}$
Ответ: $-\sqrt{\frac{1}{3}}; \sqrt{\frac{1}{3}}$.

776. Решите уравнение:
1) $x^4 - 29x^2 + 100 = 0$;
2) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$;
3) $x^4 - 2x^2 - 24 = 0$;
4) $x^4 + 3x^2 - 70 = 0$;
5) $9x^4 - 10x^2 + 1 = 0$;
6) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0$.

Решение:

1) $x^4 - 29x^2 + 100 = 0$
$x^2 = y$, y ≥ 0
$y^2 - 29y + 100 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 * 1 * 100 = 841 - 400 = 441 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 + \sqrt{441}}{2 * 1} = \frac{29 + 21}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 - \sqrt{441}}{2 * 1} = \frac{29 - 21}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x^2 = 25$
x = ±5
или
$x^2 = 4$
x = ±2
Ответ: −5; −2; 2; 5.

2) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$
$x^2 = y$, y ≥ 0
$y^2 - 9y + 20 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 1 * 20 = 81 - 80 = 1 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x^2 = 5$
$x = ±\sqrt{5}$
или
$x^2 = 4$
x = ±2
Ответ: $-\sqrt{5}; -2; 2; \sqrt{5}$.

3) $x^4 - 2x^2 - 24 = 0$
$x^2 = y$, y ≥ 0
$y^2 - 2y - 24 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-24) = 4 + 96 = 100 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ − не удовлетворяет условию, так как y ≥ 0.
$x^2 = 6$
$x = ±\sqrt{6}$
Ответ: $-\sqrt{6}; \sqrt{6}$.

4) $x^4 + 3x^2 - 70 = 0$
$x^2 = y$, y ≥ 0
$y^2 + 3y - 70 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * (-70) = 9 + 280 = 289 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{289}}{2 * 1} = \frac{-3 + 17}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{289}}{2 * 1} = \frac{-3 - 17}{2} = \frac{-20}{2} = -10$ − не удовлетворяет условию, так как y ≥ 0.
$x^2 = 7$
$x = ±\sqrt{7}$
Ответ: $-\sqrt{7}; \sqrt{7}$.

5) $9x^4 - 10x^2 + 1 = 0$
$x^2 = y$, y ≥ 0
$9y^2 - 10y + 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 9 * 1 = 100 - 36 = 64 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 * 9} = \frac{10 + 8}{18} = \frac{18}{18} = 1$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 * 9} = \frac{10 - 8}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$
$x^2 = 1$
x = ±1
или
$x^2 = \frac{1}{9}$
$x = ±\sqrt{\frac{1}{3}}$
Ответ: $-1; -\sqrt{\frac{1}{3}}; \sqrt{\frac{1}{3}}; 1$.

6) $2x^4 - 5x^2 + 2 = 0$
$x^2 = y$, y ≥ 0
$2y^2 - 5y + 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 * 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 * 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x^2 = 2$
$x = ±\sqrt{2}$
или
$x^2 = \frac{1}{2}$
$x = ±\sqrt{\frac{1}{2}}$
Ответ: $-\sqrt{2}; -\sqrt{\frac{1}{2}}; \sqrt{\frac{1}{2}}; \sqrt{2}$.

777. Решите уравнение:
1) $\frac{x^2 + 3x - 4}{x + 1} = 0$;
2) $\frac{x^2 - 6x - 7}{x - 7} = 0$;
3) $\frac{3x^2 - x - 2}{1 - x} = 0$;
4) $\frac{x^2 - 8x}{x + 10} = \frac{20}{x + 10}$;
5) $\frac{x^2 - 14}{x + 2} = \frac{5x}{x + 2}$;
6) $\frac{x^2 + 10x}{x - 8} = \frac{12x + 48}{x - 8}$;
7) $\frac{x^2 + 4x}{x - 5} - \frac{9x + 50}{x - 5} = 0$;
8) $\frac{x^2 - 6x}{x - 3} + \frac{15 - 2x}{x - 3} = 0$;
9) $\frac{x^2 - 6x}{x - 4} = 4$;
10) $\frac{5x + 18}{x - 2} = x$;
11) $x + 1 = \frac{6}{x}$;
12) $5 - \frac{8}{x^2} = \frac{18}{x}$.

Решение:

1) $\frac{x^2 + 3x - 4}{x + 1} = 0$
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
$x^2 + 3x - 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Ответ: −4 и 1

2) $\frac{x^2 - 6x - 7}{x - 7} = 0$
x − 7 ≠ 0
x ≠ 7
$x^2 - 6x - 7 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 7.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: −1

3) $\frac{3x^2 - x - 2}{1 - x} = 0$
1 − x ≠ 0
x ≠ 1
$3x^2 - x - 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 3 * (-2) = 1 + 24 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 * 3} = \frac{1 + 5}{6} = 1$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 1.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 * 3} = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$

4) $\frac{x^2 - 8x}{x + 10} = \frac{20}{x + 10}$
x + 10 ≠ 0
x ≠ −10
$x^2 - 8x = 20$
$x^2 - 8x - 20 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * (-20) = 64 + 80 = 144 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{144}}{2 * 1} = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{144}}{2 * 1} = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Ответ: −2 и 10

5) $\frac{x^2 - 14}{x + 2} = \frac{5x}{x + 2}$
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
$x^2 - 14 = 5x$
$x^2 - 5x - 14 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * (-14) = 25 + 56 = 81 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ −2.
Ответ: 7

6) $\frac{x^2 + 10x}{x - 8} = \frac{12x + 48}{x - 8}$
x − 8 ≠ 0
x ≠ 8
$x^2 + 10x = 12x + 48$
$x^2 + 10x - 12x - 48 = 0$
$x^2 - 2x - 48 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-48) = 4 + 192 = 196 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{196}}{2 * 1} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 8.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{196}}{2 * 1} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
Ответ: −6

7) $\frac{x^2 + 4x}{x - 5} - \frac{9x + 50}{x - 5} = 0$
x − 5 ≠ 0
x ≠ 5
$x^2 + 4x - (9x + 50) = 0$
$x^2 + 4x - 9x - 50 = 0$
$x^2 - 5x - 50 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * (-50) = 25 + 200 = 225 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{225}}{2 * 1} = \frac{5 + 15}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{225}}{2 * 1} = \frac{5 - 15}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Ответ: −5 и 10

8) $\frac{x^2 - 6x}{x - 3} + \frac{15 - 2x}{x - 3} = 0$
x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
$x^2 - 6x + 15 - 2x = 0$
$x^2 - 8x + 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 3.
Ответ: 5

9) $\frac{x^2 - 6x}{x - 4} = 4$
x − 4 ≠ 0
x ≠ 4
$\frac{x^2 - 6x}{x - 4} = 4$ | * (x − 4)
$x^2 - 6x = 4(x - 4)$
$x^2 - 6x = 4x - 16$
$x^2 - 6x - 4x + 16 = 0$
$x^2 - 10x + 16 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 1 * 16 = 100 - 64 = 36 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Ответ: 2 и 8

10) $\frac{5x + 18}{x - 2} = x$
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
$\frac{5x + 18}{x - 2} = x$ | * (x − 2)
$5x + 18 = x(x - 2)$
$5x + 18 = x^2 - 2x$
$-x^2 + 5x + 2x + 18 = 0$
$-x^2 + 7x + 18 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 * (-1)} = \frac{-7 + 11}{-2} = \frac{4}{-2} = -2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 * (-1)} = \frac{-7 - 11}{-2} = \frac{-18}{-2} = 9$
Ответ: −2 и 9

11) $x + 1 = \frac{6}{x}$
x ≠ 0
$x + 1 = \frac{6}{x}$ | * x
x(x + 1) = 6
$x^2 + x - 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: −3 и 2

12) $5 - \frac{8}{x^2} = \frac{18}{x}$
x ≠ 0
$5 - \frac{8}{x^2} = \frac{18}{x}$ | * $x^2$
$x^2(5 - \frac{8}{x^2}) = 18x$
$5x^2 - 18x - 8 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 * 5 * (-8) = 324 + 160 = 484 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + \sqrt{484}}{2 * 5} = \frac{18 + 22}{10} = \frac{40}{10} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - \sqrt{484}}{2 * 5} = \frac{18 - 22}{10} = \frac{-4}{10} = -0,4$
Ответ: −0,4 и 4

778. Решите уравнение:
1) $\frac{x^2 - 5x - 6}{x - 6} = 0$;
2) $\frac{4x^2 - 7x - 2}{x - 2} = 0$;
3) $\frac{2x^2 + 6}{x + 8} = \frac{13x}{x + 8}$;
4) $\frac{x^2 + 4x}{x + 7} = \frac{5x + 56}{x + 7}$;
5) $\frac{x^2 + 12x}{x + 4} - \frac{5x - 12}{x + 4} = 0$;
6) $\frac{x^2 - 3x}{x + 6} = 6$;
7) $\frac{2 - 33y}{y - 4} = 7y$;
8) $y - \frac{39}{y} = 10$.

Решение:

1) $\frac{x^2 - 5x - 6}{x - 6} = 0$
x − 6 ≠ 0
x ≠ 6
$x^2 - 5x - 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * (-6) = 25 + 24 = 49 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 6.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: −1

2) $\frac{4x^2 - 7x - 2}{x - 2} = 0$
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 4 * (-2) = 49 + 32 = 81 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 * 4} = \frac{7 + 9}{8} = \frac{16}{8} = 2$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 2.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 * 4} = \frac{7 - 9}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$
Ответ: $-\frac{1}{4}$

3) $\frac{2x^2 + 6}{x + 8} = \frac{13x}{x + 8}$
x + 8 ≠ 0
x ≠ −8
$\frac{2x^2 + 6}{x + 8} = \frac{13x}{x + 8}$ | * (x + 8)
$2x^2 + 6 = 13x$
$2x^2 - 13x + 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 * 2 * 6 = 169 - 48 = 121 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{121}}{2 * 2} = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{121}}{2 * 2} = \frac{13 - 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$ и 6

4) $\frac{x^2 + 4x}{x + 7} = \frac{5x + 56}{x + 7}$
x + 7 ≠ 0
x ≠ −7
$\frac{x^2 + 4x}{x + 7} = \frac{5x + 56}{x + 7}$ | * (x + 7)
$x^2 + 4x = 5x + 56$
$x^2 + 4x - 5x - 56 = 0$
$x^2 - x - 56 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-56) = 1 + 224 = 225 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{225}}{2 * 1} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{225}}{2 * 1} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ −7.
Ответ: 8

5) $\frac{x^2 + 12x}{x + 4} - \frac{5x - 12}{x + 4} = 0$
x + 4 ≠ 0
x ≠ −4
$\frac{x^2 + 12x}{x + 4} - \frac{5x - 12}{x + 4} = 0$ | * (x + 4)
$x^2 + 12x - (5x - 12) = 0$
$x^2 + 12x - 5x + 12 = 0$
$x^2 + 7x + 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ −4.
Ответ: −3

6) $\frac{x^2 - 3x}{x + 6} = 6$
x + 6 ≠ 0
x ≠ −6
$\frac{x^2 - 3x}{x + 6} = 6$ | * (x + 6)
$x^2 - 3x = 6(x + 6)$
$x^2 - 3x = 6x + 36$
$x^2 - 3x - 6x - 36 = 0$
$x^2 - 9x - 36 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 1 * (-36) = 81 + 144 = 225 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{225}}{2 * 1} = \frac{9 + 15}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{225}}{2 * 1} = \frac{9 - 15}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: −3 и 12

7) $\frac{2 - 33y}{y - 4} = 7y$
y − 4 ≠ 0
y ≠ 4
$\frac{2 - 33y}{y - 4} = 7y$ | * (y − 4)
$2 - 33y = 7y(y - 4)$
$2 - 33y = 7y^2 - 28y$
$-7y^2 + 28y - 33y + 2 = 0$
$-7y^2 - 5y + 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * (-7) * 2 = 25 + 56 = 81 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{81}}{2 * (-7)} = \frac{5 + 9}{-14} = \frac{14}{-14} = -1$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{81}}{2 * (-7)} = \frac{5 - 9}{-14} = \frac{-4}{-14} = \frac{2}{7}$
Ответ: −1 и $\frac{2}{7}$

8) $y - \frac{39}{y} = 10$
y ≠ 0
$y - \frac{39}{y} = 10$ | * y
$y^2 - 39 = 10y$
$y^2 - 10y - 39 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 1 * (-39) = 100 + 156 = 256 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{256}}{2 * 1} = \frac{10 + 16}{2} = \frac{26}{2} = 13$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{256}}{2 * 1} = \frac{10 - 16}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: −3 и 13