Ответы к странице 47

193. Решите уравнение:
1) (3x − 1)(4x + 5) − (2x + 3)(6x + 1) = 4;
2) $8x(2x + 7) - (4x + 3)^2 = 15$.

Решение:

1) (3x − 1)(4x + 5) − (2x + 3)(6x + 1) = 4
$12x^2 - 4x + 15x - 5 - (12x^2 + 18x + 2x + 3) = 4$
$12x^2 + 11x - 5 - 12x^2 - 18x - 2x - 3 = 4$
−9x − 8 = 4
−9x = 4 + 8
−9x = 12
$x = -\frac{12}{9} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$

2) $8x(2x + 7) - (4x + 3)^2 = 15$
$16x^2 + 56x - (16x^2 + 24x + 9) = 15$
$16x^2 + 56x - 16x^2 - 24x - 9 = 15$
32x = 15 + 9
32x = 24
$x = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$

194. Докажите, что значение выражения $2^{14} - 2^{12} - 2^{10}$ делится нацело на 11.

Решение:

$2^{14} - 2^{12} - 2^{10} = 2^{10}(2^4 - 2^2 - 1) = 2^{10}(16 - 4 - 1) = 2^{10} * 11$ − так как один из множителей в произведении делится на 11, то и все выражение делится на 11.

195. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения $3^{n + 2} - 2^{n + 2} + 3^n - 2^n$ делится нацело на 10.

Решение:

$3^{n + 2} - 2^{n + 2} + 3^n - 2^n = (3^{n + 2} + 3^n) - (2^{n + 2} + 2^n) = 3^n(3^2 + 1) - 2^n(2^2 + 1) = 3^n(9 + 1) - 2^n(4 + 1) = 3^n * 10 - 2^n * 5 = 10(3^n - 2^n * \frac{1}{2}) = 10(3^n - 2^{n - 1})$ − так как один из множителей в произведении делится на 10, то и все выражение делится на 10.

196. На первом складе было картофеля в 3 раза больше, чем на втором. Когда с первого склада вывезли 400 кг картофеля, то на нем осталось картофеля в 2 раза меньше, чем было на втором. Сколько килограммов картофеля было на первом складе первоначально?

Решение:

Пусть x (кг) − картофеля было на втором складе, тогда:
                   Было    Стало
Склад №1   3x кг    3x − 400 кг
Склад №2   x кг      x + 400 кг
Так как, на первом складе осталось картофеля в 2 раза меньше, чем было на втором, составим уравнение:
2(3x − 400) = x
6x − 800 = x
6x − x = 800
5x = 800
x = 160 (кг) − картофеля было на втором складе;
3x = 160 * 3 = 480 (кг) − картофеля было на первом складе.
Ответ: 480 кг

197. Кастрюля стоила на 510 р. меньше, чем сковорода. Во время распродажи кастрюля подешевела на 10%, а сковорода − на 20%, после чего кастрюлю и сковороду вместе можно было приобрести за 1156 р. Какова первоначальная цена кастрюли и какова − сковороды?

Решение:

Пусть x (рублей) − стоила кастрюля, тогда:

Стоили (руб.) Стали стоить (руб.)
Кастрюля x x − 0,1x
Сковорода x + 510 x + 510 − 0,2(x + 510)
Так как, во время распродажи кастрюлю и сковороду вместе можно было приобрести за 1156 р, можно составить уравнение:
x − 0,1x + x + 510 − 0,2(x + 510) = 1156
1,9x + 510 − 0,2x − 102 = 1156
1,7x + 408 = 1156
1,7x = 1156 − 408
1,7x = 748
17x = 7480
x = 440 (рублей) − первоначальная стоимость кастрюли;
x + 510 = 440 + 510 = 950 (рублей) − первоначальная стоимость сковороды.
Ответ: 440 рублей стоила кастрюля и 950 рублей стоила сковорода.

198. Из пункта A в пункт B автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а возвращался из пункта B в пункт A со скоростью 70 км/ч другой дорогой, которая на 15 км короче первой. На обратный путь автомобиль затратил на 30 мин меньше, чем на путь из пункта A в пункт B. За какое время он доехал из пункта A в пункт B?

Решение:

30 (мин) = $\frac{30}{60} = \frac{1}{2}$ (ч) − меньше затратил автомобиль на обратный путь.
Пусть x (ч) − ехал автомобиль из пункта A в пункт B, тогда:

v (км/ч) t (ч) S (км)
Из A в B 60 x 60x
Из B в A 70 $x - \frac{1}{2}$ $70(x - \frac{1}{2})$
Зная, что обратная дорога на 15 км короче первой, можно составить уравнение:
$60x - 70(x - \frac{1}{2}) = 15$
60x − 70x + 35 = 15
−10x = 15 − 35
−10x = −20
x = 2 (ч) − ехал автомобиль из пункта A в пункт B.
Ответ: за 2 часа

199. Рабочий должен был изготовлять ежедневно 10 деталей. Однако он изготовлял ежедневно 12 деталей, и уже за два дня до окончания срока работы ему осталось изготовить 6 деталей. Сколько деталей должен был изготовить рабочий?

Решение:

Пусть x (дней) − должен был работать рабочий, тогда:

деталей в день деталей всего кол−во дней
по плану 10 10x x
по факту 12 12(x − 2) x − 2
Зная, что за два дня до окончания срока работы рабочему осталось изготовить 6 деталей, можно составить уравнение:
10x − 12(x − 2) = 6
10x − 12x + 24 = 6
10x − 12x = 6 − 24
−2x = −18
x = 9 (дней) − должен был работать рабочий.
10x = 10 * 9 = 90 (деталей) − должен был изготовить рабочий.
Ответ: 90 деталей

200. (Из русского фольклора). За 30 монет купили 30 птиц. Сколько купили птиц каждого вида, если за трех воробьев платили одну монету, за двух голубей − тоже одну монету, а за одну горлицу − две монеты, при этом купили хотя бы одну птичку каждого вида?

Решение:

Пусть купили:
x (воробьев);
y (горлиц).
Тогда:
30 − x − y (горлиц) − купили;
$\frac{x}{3}$ (монет) − заплатили за воробьев;
$\frac{y}{2}$ (монет) − заплатили за голубей;
2(30 − x − y) (монет) − заплатили за горлиц.
Зная, что за всех птиц заплатили 30 монет, можно составить уравнение:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + 2(30 - x - y) = 30$|* 6
2x + 3y + 12(30 − x − y) = 180
2x + 3y + 360 − 12x − 12y = 180
−10x − 9y = 180 − 360
−10x − 9y = −180
10x + 9y = 180
10x = 180 − 9y
$x = 18 - \frac{9}{10}y$
Зная, что x и y − натуральные числа, значит y должен делиться на 10, тогда:
при y = 10:
$x = 18 - \frac{9}{10} * 10 = 18 - 9 = 9$ (воробьев) − купили;
при y = 20:
$x = 18 - \frac{9}{10} * 20 = 18 - 9 * 2 = 18 - 18 = 0$ (воробьев) − купили, чего быть не может по условию задачи. Значит купили:
y = 10 (голубей);
x = 9 (воробьев);
30 − x − y = 30 − 9 − 10 = 11 (горлиц) − купили.
Ответ: 9 воробьев, 10 голубей и 11 горлиц.

201. Решите уравнение:
1) $\frac{2x + 7}{4} = \frac{x + 5}{3}$;
2) $x^2 + 6x = 0$;
3) $0,21x - 0,7x^2 = 0$;
4) $x^2 - 16 = 0$;
5) $25x^2 - 36 = 0$;
6) $x^2 + 4 = 0$.

Решение:

1) $\frac{2x + 7}{4} = \frac{x + 5}{3}|*12$
3(2x + 7) = 4(x + 5)
6x + 21 = 4x + 20
6x − 4x = 20 − 21
2x = −1
$x = -\frac{1}{2}$
Ответ: $x = -\frac{1}{2}$

2) $x^2 + 6x = 0$
x(x + 6) = 0
x = 0
или
x + 6 = 0
x = −6
Ответ: x = 0; x = −6.

3) $0,21x - 0,7x^2 = 0$
0,7x(0,3 − x) = 0
0,7x = 0
x = 0
или
0,3 − x = 0
x = 0,3
Ответ: x = 0; x = 0,3.

4) $x^2 - 16 = 0$
$x^2 = 16$
x = ±4
Ответ: x = ±4

5) $25x^2 - 36 = 0$
$25x^2 = 36$
$x^2 = \frac{36}{25}$
$x^2 = ±\frac{6}{5} = ±1\frac{1}{5}$
Ответ: $x = ±1\frac{1}{5}$

6) $x^2 + 4 = 0$
$x^2 = -4$
Ответ: нет корней