Ответы к странице 164

№655. Печатный автомат получает на входе карточку с числами (a; b) и выдает на выходе карточку с числами $(\frac{a + b}{2}; \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}})$. Можно ли с помощью этого автомата из карточки с числами (0,25; 1000) получить карточку с числами (1,25; 250)?

Решение:

Заметим, что произведение чисел на карточке выхода
$\frac{a + b}{2} * \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{a + b}{2} * \frac{2}{\frac{b + a}{ab}} = \frac{a + b}{2} * \frac{2ab}{a + b} = ab$ 
Произведение чисел на карточке входа так же равно аb.
Это означает, что произведение двух чисел, записанных на любой из полученных на выходе карточек, равно
0,25 · 1000 = 250.
Поскольку 1,25 · 250 ≠ 250, то карточку (1,25; 250) получить нельзя.
Ответ: нельзя.