Ответы к странице 150

610. В одном контейнере было 90 кг яблок, а в другом − 75 кг. После того как из первого контейнера взяли в 3 раза больше яблок, чем из второго, в первом осталось в 2 раза меньше яблок, чем во втором. Сколько килограммов яблок взяли из первого контейнера?

Решение:

Пусть x (кг) − яблок взяли из второго контейнера, тогда:
3x (кг) − яблок взяли из первого контейнера;
90 − 3x (кг) − яблок осталось в первом контейнере;
75 − x (кг) − яблок осталось во втором контейнере.
Так как, в первом осталось в 2 раза меньше яблок, чем во втором, можно составить уравнение:
2(90 − 3x) = 75 − x
180 − 6x = 75 − x
−6x + x = 75 − 180
−5x = −105
x = 21 (кг) − яблок взяли из второго контейнера, тогда:
3x = 3 * 21 = 63 (кг) − яблок взяли из первого контейнера.
Ответ: 63 кг

611. От пристани против течения реки отплыла моторная лодка, собственная скорость которой равна 12 км/ч. Через 40 мин после отправления лодки вышел из строя мотор, и лодку течением реки через 2 ч принесло к пристани. Какова скорость течения реки?

Решение:

Пусть x (км/ч) − скорость течения реки, тогда:
12 − x (км/ч) − скорость лодки против течения;
40 мин = $\frac{40}{60}$ ч = $\frac{2}{3}$ ч
$\frac{2}{3}(12 - x)$ (км) − прошла лодка против течения реки;
2x (км) − прошла лодка по течению.
Так как, против течения и против течения лодка прошла одно и то же расстояние, можно составить уравнение:
$\frac{2}{3}(12 - x) = 2x$
$\frac{2}{3} * 12 - \frac{2}{3}x - 2x = 0$ |* 3
2 * 12 − 2x − 6x = 0
24 − 8x = 0
8x = 24
x = 3 (км/ч) − скорость течения реки.
Ответ: 3 км/ч

612. Докажите тождество:
1) $(\frac{a - 2b}{a^2 + 2ab} - \frac{1}{a^2 - 4b^2} : \frac{a + 2b}{(2b - a)^2}) : \frac{a^2 - 2ab}{a^2 + 4ab + 4b^2} = \frac{2b}{a^2}$;
2) $(\frac{2a}{a + 3} - \frac{4a}{a^2 + 6a + 9}) * \frac{a^2 - 9}{a + 1} - \frac{a^2 - 9a}{a + 3} = a$.

Решение:

1) $(\frac{a - 2b}{a^2 + 2ab} - \frac{1}{a^2 - 4b^2} : \frac{a + 2b}{(2b - a)^2}) : \frac{a^2 - 2ab}{a^2 + 4ab + 4b^2} = (\frac{a - 2b}{a(a + 2b)} - \frac{1}{(a - 2b)(a + 2b)} : \frac{a + 2b}{(a - 2b)^2}) : \frac{a(a - 2b)}{(a + 2b)^2} = (\frac{a - 2b}{a(a + 2b)} - \frac{1}{(a - 2b)(a + 2b)} * \frac{(a - 2b)^2}{a + 2b}) * \frac{(a + 2b)^2}{a(a - 2b)} = (\frac{a - 2b}{a(a + 2b)} - \frac{1}{a + 2b} * \frac{a - 2b}{a + 2b}) * \frac{(a + 2b)^2}{a(a - 2b)} = (\frac{a - 2b}{a(a + 2b)} - \frac{a - 2b}{(a + 2b)^2}) * \frac{(a + 2b)^2}{a(a - 2b)} = \frac{(a - 2b)(a + 2b) - a(a - 2b)}{a(a + 2b)^2} * \frac{(a + 2b)^2}{a(a - 2b)} = \frac{a^2 - 4b^2 - a^2 + 2ab}{a} * \frac{1}{a(a - 2b)} = \frac{2ab - 4b^2}{a} * \frac{1}{a(a - 2b)} = \frac{2b(a - 2b)}{a} * \frac{1}{a(a - 2b)} = \frac{2b}{a} * \frac{1}{a} = \frac{2b}{a^2}$

2) $(\frac{2a}{a + 3} - \frac{4a}{a^2 + 6a + 9}) * \frac{a^2 - 9}{a + 1} - \frac{a^2 - 9a}{a + 3} = (\frac{2a}{a + 3} - \frac{4a}{(a + 3)^2}) * \frac{(a - 3)(a + 3)}{a + 1} - \frac{a(a - 9)}{a + 3} = \frac{2a(a + 3) - 4a}{(a + 3)^2} * \frac{(a - 3)(a + 3)}{a + 1} - \frac{a(a - 9)}{a + 3} = \frac{2a^2 + 6a - 4a}{a + 3} * \frac{a - 3}{a + 1} - \frac{a(a - 9)}{a + 3} = \frac{2a^2 + 2a}{a + 3} * \frac{a - 3}{a + 1} - \frac{a(a - 9)}{a + 3} = \frac{2a(a + 1)}{a + 3} * \frac{a - 3}{a + 1} - \frac{a(a - 9)}{a + 3} = \frac{2a}{a + 3} * \frac{a - 3}{1} - \frac{a(a - 9)}{a + 3} = \frac{2a(a - 3)}{a + 3} - \frac{a(a - 9)}{a + 3} = \frac{2a^2 - 6a - a^2 + 9a}{a + 3} = \frac{a^2 + 3a}{a + 3} = \frac{a(a + 3)}{a + 3} = a$

613. Расстояние между двумя городами легковая машина проезжает за 2 ч, а грузовая − за 3 ч. Через какое время после начала движения они встретятся, если выедут одновременно навстречу друг другу из этих городов?

Решение:

Пусть x (км) − расстояние между городами, тогда:
$\frac{x}{2}$ (км/ч) − скорость легковой машины;
$\frac{x}{3}$ (км/ч) − скорость грузовой машины;
$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = \frac{3x + 2x}{6} = \frac{5x}{6}$ (км/ч) − скорость сближения машин;
$x : \frac{5x}{6} = x * \frac{6}{5x} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$ (ч) = $1\frac{12}{60}$ (ч) = 1 ч 12 мин − время, через которое встретятся машины.
Ответ: через 1 ч 12 минут

614. Решите уравнение:
1) $x^2 = 0$;
2) $x^2 - 1 = 0$;
3) $x^2 + 5x = 0$;
4) $-3x^2 + 12 = 0$;
5) $5x^2 - 6x = 0$;
6) $0,2x^2 + 2 = 0$;
7) $\frac{1}{6}x^2 - 5x = 0$;
8) $x^2 - 2x + 1 = 0$;
9) $9x^2 + 30x + 25 = 0$.

Решение:

1) $x^2 = 0$
x = 0
Ответ: x = 0

2) $x^2 - 1 = 0$
(x − 1)(x + 1) = 0
x − 1 = 0
x = 1
или
x + 1 = 0
x = −1
Ответ: x = −1 и x = 1

3) $x^2 + 5x = 0$
x(x + 5) = 0
x = 0
или
x + 5 = 0
x = −5
Ответ: x = −5 и x = 0

4) $-3x^2 + 12 = 0$
$-3(x^2 - 4) = 0$
$x^2 - 4 = 0$
(x − 2)(x + 2) = 0
x − 2 = 0
x = 2
или
x + 2 = 0
x = −2
Ответ: x = −2 и x = 2

5) $5x^2 - 6x = 0$
x(5x − 6) = 0
x = 0
или
5x − 6 = 0
5x = 6
$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$
Ответ: x = 0 или $x = 1\frac{1}{5}$

6) $0,2x^2 + 2 = 0$
$0,2x^2 = -2$
$x^2 = -10$ − нет корней
Ответ: нет корней

7) $\frac{1}{6}x^2 - 5x = 0$ |* 6
$x^2 - 5x = 0$
x(x − 5) = 0
x = 0
или
x − 5 = 0
x = 5
Ответ: x = 0 и x = 5

8) $x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x - 1)^2 = 0$
x − 1 = 0
x = 1
Ответ: x = 1

9) $9x^2 + 30x + 25 = 0$
$(3x + 5)^2 = 0$
3x + 5 = 0
3x = −5
$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$
Ответ: $x = -1\frac{2}{3}$

№615. Натуральные числа от 1 до 37 записаны в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится нацело на следующее за ними число. Какое число записано на третьем месте, если на первом месте записано число 37, а на втором − 1?

Решение:

37 + 1 = 38, значит на третьем месте будет стоять один из делителей числа 38: это 1, 2, 19 или 38.
Число 1 не подходит, так как оно уже записано на втором месте;
число 38 − не подходит, так как оно больше 37.
Выбор между 19 и 2.
Найдем сумму первых 37 натуральных чисел:
1 + 2 + ... + 37 = (1 + 36) + (2 + 35) + ... + (18 + 19) + 37 = 37 * 19.
Так как числа 37 и 19 простые, значит на 37−ом месте может стоять либо 19, либо 37. Но так как, число 37 стоит на первом месте, значит на 37−ом месте стоит число 19.
Значит, на третьем месте стоит 2.
Ответ: 2