Ответы к странице 211-212

Задание №6 "Проверьте себя" в тестовой форме

1. Найдите корни квадратного трехчлена $5x^2 - x - 6$.
А) 2; −0,6
Б) −2; 0,6
В) 1; −1,2
Г) −1; 1,2

Решение:

$5x^2 - x - 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 5 * (-6) = 1 + 120 = 121 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{121}}{2 * 5} = \frac{1 + 11}{10} = \frac{12}{10} = 1,2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{121}}{2 * 5} = \frac{1 - 11}{10} = \frac{-10}{10} = -1$
Ответ: Г) −1; 1,2

2. Разложите на множители квадратный трехчлен $-x^2 - 4x + 5$.
А) (x − 1)(x + 5)
Б) (x + 1)(x − 5)
В) −(x − 1)(x + 5)
Г) −(x + 1)(x − 5)

Решение:

$-x^2 - 4x + 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * (-1) * 5 = 16 + 20 = 36 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 * (-1)} = \frac{4 + 6}{-2} = \frac{10}{-2} = -5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 * (-1)} = \frac{4 - 6}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$
$-x^2 - 4x + 5 = a(x - x_1)(x - x_2) = -(x - (-5))(x - 1) = -(x + 5)(x - 1)$
Ответ: В) −(x − 1)(x + 5)

3. Сократите дробь $\frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 + x - 6}$.
А) $\frac{x + 4}{x - 2}$
Б) $\frac{x - 4}{x - 2}$
В) $\frac{x + 4}{x + 2}$
Г) $\frac{x - 4}{x + 2}$

Решение:

$\frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 + x - 6}$
$x^2 + 7x + 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
$x^2 + 7x + 12 = (x - (-3))(x - (-4)) = (x + 3)(x + 4)$
$x^2 + x - 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x - (-3)) = (x - 2)(x + 3)$
тогда:
$\frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 + x - 6} = \frac{(x + 3)(x + 4)}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{x + 4}{x - 2}$
Ответ: А) $\frac{x + 4}{x - 2}$

4. Решите уравнение $x^4 + 7x^2 - 18 = 0$.
А) −3; 3
Б) $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$
В) $-3; -\sqrt{2}; \sqrt{2}; 3$
Г) $\sqrt{2}; 3$

Решение:

$x^4 + 7x^2 - 18 = 0$
$y = x^2$, y ≥ 0
$y^2 + 7y - 18 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 * 1 * (-18) = 49 + 72 = 121 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 * 1} = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 * 1} = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9$ − не является решением, так как y ≥ 0.
$x^2 = 2$
$x = ±\sqrt{2}$
Ответ:
Б) $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

5. Найдите корни уравнения $(x^2 - 4x)^2 - 2(x^2 - 4x) - 15 = 0$.
А) −1; 1; 3; 5
Б) −1; 5
В) 1; 3
Г) 1; 3; 5

Решение:

$(x^2 - 4x)^2 - 2(x^2 - 4x) - 15 = 0$
$y = x^2 - 4x$
$y^2 - 2y - 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$x^2 - 4x = 5$
$x^2 - 4x - 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
или
$x^2 - 4x = -3$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Ответ:
А) −1; 1; 3; 5

6. Решите уравнение:
$x - \sqrt{x} - 12 = 0$.
А) −3; 4
Б) −2; 2
В) 16
Г) 9; 16

Решение:

$x - \sqrt{x} - 12 = 0$
$(\sqrt{x})^2 - \sqrt{x} - 12 = 0$
$y = \sqrt{x}$, y ≥ 0
$y^2 - y - 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ − не является решением, так как y ≥ 0.
$\sqrt{x} = 4$
$(\sqrt{x})^2 = 4^2$
x = 16
Ответ: В) 16

7. Решите уравнение $\frac{x^2 - 6}{x - 3} = \frac{x}{x - 3}$.
А) −2
Б) 3
В) −2; 3
Г) −3; 2

Решение:

$\frac{x^2 - 6}{x - 3} = \frac{x}{x - 3}$
x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
$\frac{x^2 - 6}{x - 3} - \frac{x}{x - 3} = 0$ | * (x − 3)
$x^2 - 6 - x = 0$
$x^2 - x - 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$ − не является решением, так как x ≠ 3.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Ответ: А) −2

8. Решите уравнение $\frac{3x - 1}{x} - \frac{4}{x - 2} = \frac{10 - 9x}{x^2 - 2x}$
А) $-\frac{4}{3}; 2$
Б) $\frac{4}{3}; -2$
В) $-\frac{4}{3}$
Г) 2

Решение:

$\frac{3x - 1}{x} - \frac{4}{x - 2} = \frac{10 - 9x}{x^2 - 2x}$
$\frac{3x - 1}{x} - \frac{4}{x - 2} - \frac{10 - 9x}{x(x - 2)} = 0$
x ≠ 0
и
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
$\frac{3x - 1}{x} - \frac{4}{x - 2} - \frac{10 - 9x}{x(x - 2)} = 0$ | * x(x − 2)
(3x − 1)(x − 2) − 4x − (10 − 9x) = 0
$3x^2 - x - 6x + 2 - 4x - 10 + 9x = 0$
$3x^2 - 2x - 8 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 3 * (-8) = 4 + 96 = 100 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{100}}{2 * 3} = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2$ − не является решением, так как x ≠ 2.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{100}}{2 * 3} = \frac{2 - 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$
Ответ: В) $-\frac{4}{3}$

9. Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 350 км, выехали одновременно грузовой и легковой автомобили. Скорость грузовика на 20 км/ч меньше скорости легкового автомобиля, в результате чего грузовик прибыл в пункт назначения на 2 ч позже легкового автомобиля.
Пусть скорость грузового автомобиля равна x км/ч. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?
А) $\frac{350}{x} - \frac{350}{x + 20} = 2$
Б) $\frac{350}{x} + \frac{350}{x + 20} = 2$
В) $\frac{350}{x + 20} - \frac{350}{x} = 2$
Г) $\frac{350}{x} - \frac{350}{x - 20} = 2$

Решение:

Пусть скорость грузового автомобиля равна x км/ч, тогда:
x + 20 (км/ч) − скорость легкового автомобиля;
$\frac{350}{x}$ (ч) − был в пути грузовой автомобиль;
$\frac{350}{x + 20}$ (ч) − был в пути легковой автомобиль.
Так как, грузовик прибыл в пункт назначения на 2 ч позже легкового автомобиля, можно составить уравнение:
$\frac{350}{x} - \frac{350}{x + 20} = 2$
Ответ:
А) $\frac{350}{x} - \frac{350}{x + 20} = 2$

10. Катер прошел 30 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 3 ч 10 мин. Скорость течения реки равна 1 км/ч. Пусть собственная скорость катера составляет x км/ч. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
А) $\frac{30}{x + 1} + \frac{30}{x - 1} = 3,1$
Б) $\frac{30}{x + 1} - \frac{30}{x - 1} = 3,1$
В) $\frac{30}{x + 1} + \frac{30}{x} = 3\frac{1}{6}$
Г) $\frac{30}{x + 1} + \frac{30}{x - 1} = 3\frac{1}{6}$

Решение:

Пусть собственная скорость катера составляет x км/ч, тогда:
x + 1 (км/ч) − скорость катера по течению;
x − 1 (км/ч) − скорость катера против течения;
$\frac{30}{x + 1}$ (ч) − шел катер по течению;
$\frac{30}{x 1}$ (ч) − шел катер против течения;
3 ч 10 мин = $3\frac{10}{60}$ (ч) = $3\frac{1}{6}$ (ч).
Так как, на весь путь катер затратил 3 ч 10 мин, можно составить уравнение:
$\frac{30}{x + 1} + \frac{30}{x - 1} = 3\frac{1}{6}$
Ответ:
Г) $\frac{30}{x + 1} + \frac{30}{x - 1} = 3\frac{1}{6}$

11. Рабочий должен был за некоторое время изготовить 96 деталей. Ежедневно он изготавливал на 2 детали больше, чем планировал, и закончил работу на 3 дня раньше срока.
Пусть рабочий изготавливал ежедневно x деталей. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?
А) $\frac{96}{x} - \frac{96}{x - 2} = 3$
Б) $\frac{96}{x - 2} - \frac{96}{x} = 3$
В) $\frac{96}{x} - \frac{96}{x - 3} = 2$
Г) $\frac{96}{x - 3} - \frac{96}{x} = 2$

Решение:

Пусть рабочий изготавливал ежедневно x деталей, тогда:
x − 2 (деталей) − ежедневно должен был изготавливать рабочий;
$\frac{96}{x}$ (дней) − работал рабочий;
$\frac{96}{x - 2}$ (дней) − должен был работать рабочий по плану.
Так как, рабочий закончил работу на 3 дня раньше срока, можно составить уравнение:
$\frac{96}{x} - \frac{96}{x - 2} = 3$
Ответ:
А) $\frac{96}{x} - \frac{96}{x - 2} = 3$

12. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторое производственное задание за 10 ч, причем первый из них может выполнить это задание самостоятельно на 15 ч быстрее второго.
Пусть первый рабочий может выполнить самостоятельно задание за x ч. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?
А) $\frac{15}{x} - \frac{15}{10 - x} = 1$
Б) $\frac{15}{x} + \frac{15}{x - 10} = 1$
В) $\frac{10}{x} + \frac{10}{x + 15} = 1$
Г) $\frac{10}{x} + \frac{10}{x - 15} = 1$

Решение:

Пусть первый рабочий может выполнить самостоятельно задание за x ч, тогда:
x + 15 (ч) − будет выполнять задание самостоятельно второй рабочий;
$\frac{10}{x}$ (работы) − выполнит первый рабочий за 10 часов;
$\frac{10}{x + 15}$ (работы) − выполнит второй рабочий за 10 часов.
Если принять всю работу за единицу и зная, что двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторое производственное задание за 10 ч, можно составить уравнение:
$\frac{10}{x} + \frac{10}{x + 15} = 1$
Ответ:
В) $\frac{10}{x} + \frac{10}{x + 15} = 1$