Ответы к странице 59

225. Найдите значение функции ƒ(x) = 3x − 7 при:
1) x = −3;
2) $x = 2\frac{1}{3}$.
При каком значении аргумента значение функции равно 0,2?

Решение:

1) ƒ(x) = 3x − 7
при x = −3:
ƒ(−3) = 3 * (−3) − 7 = −9 − 7 = −16

2) ƒ(x) = 3x − 7
при $x = 2\frac{1}{3}$:
$ƒ(2\frac{1}{3}) = 3 * 2\frac{1}{3} - 7 = 3 * \frac{7}{3} - 7 = 7 - 7 = 0$

3) ƒ(x) = 3x − 7
при ƒ(x) = 0,2:
0,2 = 3x − 7
3x = 7 + 0,2
3x = 7,2
$x = \frac{7,2}{3} = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$

226. Найдите значение выражения:
1) $4^3 + 3^4$;
2) $(-8)^2 - (-1)^{12}$;
3) $9 * (-\frac{2}{9})^2$;
4) $(2,8 - 3,1)^3 * (-1\frac{2}{3})^2$.

Решение:

1) $4^3 + 3^4 = 64 + 81 = 145$

2) $(-8)^2 - (-1)^{12} = 64 - 1 = 63$

3) $9 * (-\frac{2}{9})^2 = 9 * \frac{4}{81} = \frac{4}{9}$

4) $(2,8 - 3,1)^3 * (-1\frac{2}{3})^2 = (-0,3)^3 * (\frac{5}{3})^2 = -0,027 * \frac{25}{9} = -0,003 * 25 = -0,075$

227. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:
1) $(-5,7)^2$ и 0;
2) 0 и $(-6,9)^3$;
3) $(-23)^5$ и $(-2)^4$;
4) $-8^8$ и $(-8)^8$.

Решение:

1) $(-5,7)^2 > 0$, так как $(-5,7)^2$ − число положительное.

2) $0 < (-6,9)^3$, так как $(-6,9)^3$ − число отрицательное.

3) $(-23)^5 < (-2)^4$, так как $(-23)^5$ − число отрицательное, а $(-2)^4$ − число положительное.

4) $-8^8 < (-8)^8$, так как $-8^8$ − число отрицательное, а $(-8)^8$ − число положительное.

228. Представьте в виде степени:
1) с основанием 2 числа 4; 8; 16; 32; 64;
2) с основанием 10 числа 100; 1000; 10000; 1000000.

Решение:

1) $4 = 2 * 2 = 2^2$
$8 = 2 * 2 * 2 = 2^3$
$16 = 2 * 2 * 2 * 2 = 2^4$
$32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2^5$
$64 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2^6$

2) $100 = 10 * 10 = 10^2$
$1000 = 10 * 10 * 10 = 10^3$
$10000 = 10 * 10 * 10 * 10 = 10^4$
$1000000 = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 10^6$

229. Найдите значение выражения:
1) $18a^2$, если $a = -\frac{1}{6}$;
2) $(18a)^2$, если $a = -\frac{1}{6}$;
3) $6 + b^4$, если b = −2;
4) $(6 + b)^4$, если b = −2.

Решение:

1) $18a^2$, если $a = -\frac{1}{6}$:
$18 * (-\frac{1}{6})^2 = 18 * \frac{1}{36} = 1 * \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

2) $(18a)^2$, если $a = -\frac{1}{6}$:
$(18 * (-\frac{1}{6}))^2 = (3 * (-\frac{1}{1}))^2 = (-3)^2 = 9$

3) $6 + b^4$, если b = −2:
$6 + (-2)^4 = 6 + 16 = 22$

4) $(6 + b)^4$, если b = −2:
$(6 + (-2))^4 = (6 - 2)^4 = 4^4 = 256$

№ 230. Существует ли натуральное число, которое при умножении на 2 становится квадратом натурального числа, а при умножении на 3 − кубом натурального числа?

Решение:

Пусть n − число, удовлетворяющее условию задачи.
Тогда, при умножении данного числа на 2 будет $2n = a^2$, а при умножении его на 3 будет $3n = b^3$.
Если число 2n разложить на множители, то минимум двоек будет 3, так как должно быть нечетное количество двоек:
2n = 2 * 2 * 2 * ...
Если число 3n разложить на множители, то минимум троек будет 2, так как должно быть четное количество троек:
3n = 3 * 3 * ...
Можем получить число:
2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 8 * 9 = 72
Проверка:
$72 * 2 = 144 = 12^2$
$72 * 3 = 216 = 6^3$
Ответ: такое число существует, это 72.