Ответы к странице 217
851. Докажите тождество:
$\frac{1}{(b - c)(c - a)} - \frac{1}{(a - b)(c - b)} + \frac{1}{(a - c)(b - a)} = 0$.
Решение:
$\frac{1}{(b - c)(c - a)} - \frac{1}{(a - b)(c - b)} + \frac{1}{(a - c)(b - a)} = -\frac{1}{(b - c)(a - c)} + \frac{1}{(a - b)(b - c)} - \frac{1}{(a - c)(a - b)} = \frac{-(a - b) + a - c - (b - c)}{(a - b)(b - c)(a - c)} = \frac{-a + b + a - c - b + c}{(a - b)(b - c)(a - c)} = \frac{0}{(a - b)(b - c)(a - c)} = 0$
852. Запишите дробь в виде суммы целого выражения и дроби:
1) $\frac{a - 7}{a}$;
2) $\frac{a^2 + 2a - 2}{a + 2}$;
3) $\frac{x^2 + 3x - 2}{x - 3}$.
Решение:
1) $\frac{a - 7}{a} = \frac{a}{a} - \frac{7}{a} = 1 - \frac{7}{a}$
2) $\frac{a^2 + 2a - 2}{a + 2} = \frac{a^2 + 2a}{a + 2} - \frac{2}{a + 2} = \frac{a(a + 2)}{a + 2} - \frac{2}{a + 2} = a - \frac{2}{a + 2} = a - \frac{2}{a + 2}$
3) $\frac{x^2 + 3x - 2}{x - 3} = \frac{x^2 - 3x + 6x - 2}{x - 3} = \frac{x^2 - 3x}{x - 3} + \frac{6x - 2}{x - 3} = \frac{x(x - 3)}{x - 3} + \frac{2(3x - 1)}{x - 3} = x + \frac{2(3x - 1)}{x - 3}$
853. Известно, что $\frac{x}{y} = 4$. Найдите значение выражения.
1) $\frac{x + y}{x}$;
2) $\frac{3x + 4y}{x}$.
Решение:
1) $\frac{x + y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} = 1 + \frac{y}{x}$
$\frac{x}{y} = 4$
$\frac{y}{x} = \frac{1}{4}$
тогда:
$1 + \frac{1}{4} = 1\frac{1}{4}$
2) $\frac{3x + 4y}{x} = \frac{3x}{x} + \frac{4y}{x} = 3 + 4 * \frac{y}{x}$
$\frac{x}{y} = 4$
$\frac{y}{x} = \frac{1}{4}$
тогда:
$3 + 4 * \frac{y}{x} = 3 + 4 * \frac{1}{4} = 3 + 1 = 4$
854. Найдите все натуральные значения n, при которых является натуральным числом значение выражения:
1) $\frac{12n^2 - 5n + 33}{n}$;
2) $\frac{n^3 - 6n^2 + 54}{n^2}$;
3) $\frac{10 - 4n}{n}$;
4) $\frac{12 - 3n}{n}$.
Решение:
1) $\frac{12n^2 - 5n + 33}{n} = \frac{12n^2}{n} - \frac{5n}{n} + \frac{33}{n} = 12n - 5 + \frac{33}{n}$
Ответ: при n = 1; 3; 11; 33.
2) $\frac{n^3 - 6n^2 + 54}{n^2} = \frac{n^3}{n^2} - \frac{6n^2}{n^2} + \frac{54}{n^2} = n - 6 + \frac{54}{n^2}$
Ответ: при n = 1; 3.
3) $\frac{10 - 4n}{n} = \frac{10}{n} - \frac{4n}{n} = \frac{10}{n} - 4$
Ответ: при n = 1; 2.
4) $\frac{12 - 3n}{n} = \frac{12}{n} - \frac{3n}{n} = \frac{12}{n} - 3$
Ответ: при n = 1; 2; 3.
855. Выразите переменную x через другие переменные, если:
1) $x + \frac{a}{b} = 1$;
2) $\frac{1}{x} + \frac{1}{a} = b$;
3) $\frac{a}{b} + \frac{x}{4} = \frac{b}{a}$.
Решение:
1) $x + \frac{a}{b} = 1$
$x = 1 - \frac{a}{b}$
$x = \frac{b - a}{b}$
2) $\frac{1}{x} + \frac{1}{a} = b$
$\frac{1}{x} = b - \frac{1}{a}$
$\frac{1}{x} = \frac{ab - 1}{a}$
$x = \frac{a}{ab - 1}$
3) $\frac{a}{b} + \frac{x}{4} = \frac{b}{a}$
$\frac{x}{4} = \frac{b}{a} - \frac{a}{b}$
$\frac{x}{4} = \frac{b^2 - a^2}{ab}$
$x = \frac{4(b^2 - a^2)}{ab}$
856. Докажите тождество:
1) $\frac{1}{a^2 + 12a + 36} + \frac{2}{36 - a^2} + \frac{1}{a^2 - 12a + 36} = \frac{144}{(a^2 - 36)^2}$;
2) $\frac{a^2}{(a - b)(a - c)} + \frac{b^2}{(b - a)(b - c)} + \frac{c^2}{(c - a)(c - b)} = 1$.
Решение:
1) $\frac{1}{a^2 + 12a + 36} + \frac{2}{36 - a^2} + \frac{1}{a^2 - 12a + 36} = \frac{1}{(a + 6)^2} + \frac{2}{(6 - a)(6 + a)} + \frac{1}{(a - 6)^2} = \frac{1}{(a + 6)^2} - \frac{2}{(a - 6)(a + 6)} + \frac{1}{(a - 6)^2} = \frac{(a - 6)^2 - 2(a - 6)(a + 6) + (a + 6)^2}{(a - 6)^2(a + 6)^2} = \frac{a^2 - 12a + 36 - 2(a^2 - 36) + a^2 + 12a + 36}{(a - 6)^2(a + 6)^2} = \frac{2a^2 + 36 - 2a^2 + 72 + 36}{((a - 6)(a + 6))^2} = \frac{144}{(a^2 - 36)^2}$
2) $\frac{a^2}{(a - b)(a - c)} + \frac{b^2}{(b - a)(b - c)} + \frac{c^2}{(c - a)(c - b)} = \frac{a^2}{(a - b)(a - c)} - \frac{b^2}{(a - b)(b - c)} + \frac{c^2}{(a - c)(b - c)} = \frac{a^2(b - c) - b^2(a - c) + c^2(a - b)}{(a^2 - ab - ac + bc)(b - c)} = \frac{a^2b - a^2c - ab^2 + b^2c + ac^2 - bc^2}{a^2b - ab^2 - abc + b^2c - a^2c + abc + ac^2 - bc^2} = \frac{a^2b - a^2c - ab^2 + b^2c + ac^2 - bc^2}{a^2b - a^2c - ab^2 + b^2c + ac^2 - bc^2} = 1$
857. Упростите выражение:
$\frac{1}{a(a + 3)} + \frac{1}{(a + 3)(a + 6)} + \frac{1}{(a + 6)(a + 9)} + \frac{1}{(a + 9)(a + 12)}$.
Решение:
$\frac{1}{a(a + 3)} + \frac{1}{(a + 3)(a + 6)} + \frac{1}{(a + 6)(a + 9)} + \frac{1}{(a + 9)(a + 12)} = (\frac{1}{a(a + 3)} + \frac{1}{(a + 3)(a + 6)}) + (\frac{1}{(a + 6)(a + 9)} + \frac{1}{(a + 9)(a + 12)}) = \frac{(a + 6) + a}{a(a + 3)(a + 6)} + \frac{(a + 12) + (a + 6)}{(a + 6)(a + 9)(a + 12)} = \frac{a + 6 + a}{a(a + 3)(a + 6)} + \frac{a + 12 + a + 6}{(a + 6)(a + 9)(a + 12)} = \frac{2a + 6}{a(a + 3)(a + 6)} + \frac{2a + 18}{(a + 6)(a + 9)(a + 12)} = \frac{2(a + 3)}{a(a + 3)(a + 6)} + \frac{2(a + 9)}{(a + 6)(a + 9)(a + 12)} = \frac{2}{a(a + 6)} + \frac{2}{(a + 6)(a + 12)} = \frac{2(a + 12) + 2a}{a(a + 6)(a + 12)} = \frac{2a + 24 + 2a}{a(a + 6)(a + 12)} = \frac{4a + 24}{a(a + 6)(a + 12)} = \frac{4(a + 6)}{a(a + 6)(a + 12)} = \frac{4}{a(a + 12)}$
858. Докажите, что если $\frac{a + b + c}{a + b - c} = \frac{a - b + c}{a - b - c}$, то b = 0 или c = 0.
Решение:
$\frac{a + b + c}{a + b - c} = \frac{a - b + c}{a - b - c}$
произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов, тогда:
(a + b + c)(a − b − c) = (a + b − c)(a − b + c)
(a + (b + c))(a − (b + c)) = (a + (b − c))(a − (b − c))
$a^2 - (b + c)^2 = a^2 - (b - c)^2$
$(b + c)^2 = (b - c)^2$
b + c = b − c
c + c = b − b
2c = 0
c = 0
или
b + c = −(b − c)
b + c = −b + c
b + b = c − c
2b = 0
b = 0
859. Выполните умножение:
1) $\frac{9x}{y} * \frac{y}{24x}$;
2) $\frac{m^2n^3}{25t} * (\frac{-5t}{mn^2})$;
3) $\frac{16a^4}{21b^5} * \frac{9b^2}{10a^3}$;
4) $26m^2 * \frac{3n^2}{13m^4}$;
5) $\frac{24t^7}{16u^3} * 34u^5$;
6) $\frac{4x^5y^2}{7a^3b} * \frac{21xb^2}{10y^3a^2} * \frac{25a^5y}{3x^4b}$.
Решение:
1) $\frac{9x}{y} * \frac{y}{24x} = \frac{3}{1} * \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
2) $\frac{m^2n^3}{25t} * (\frac{-5t}{mn^2}) = \frac{mn}{5} * (\frac{-1}{1}) = -\frac{mn}{5}$
3) $\frac{16a^4}{21b^5} * \frac{9b^2}{10a^3} = \frac{8a}{7b^3} * \frac{3}{5} = \frac{24a}{35b^3}$
4) $26m^2 * \frac{3n^2}{13m^4} = 2 * \frac{3n^2}{m^2} = \frac{6n^2}{m^2}$
5) $\frac{24t^7}{16u^3} * 34u^5 = \frac{3t^7}{1} * 17u^2 = 51t^7u^2$
6) $\frac{4x^5y^2}{7a^3b} * \frac{21xb^2}{10y^3a^2} * \frac{25a^5y}{3x^4b} = \frac{21 * 100x^6y^3a^5b^2}{21 * 10x^4y^3a^5b^2} = 10x^2$
