Ответы к странице 224

899. Вынесите множитель из-под знака корня:
1) $\sqrt{10a^2}$, если a ≥ 0;
2) $\sqrt{15b^2}$, если b ≤ 0;
3) $\sqrt{x^{11}y^{12}}$, если y ≠ 0;
4) $\sqrt{36m^2n}$, если m < 0;
5) $\sqrt{4x^6y^5}$, если x > 0;
6) $\sqrt{700a^5b^22}$, если b < 0.

Решение:

1) $\sqrt{10a^2} = \sqrt{10} * \sqrt{a^2} = \sqrt{10} * |a| = a\sqrt{10}$, если a ≥ 0

2) $\sqrt{15b^2} = \sqrt{15 * b^2} = \sqrt{15} * |b| = -b\sqrt{15}$, если b ≤ 0

3) $\sqrt{x^{11}y^{12}} = \sqrt{x * x^{10} * (y^6)^2} = \sqrt{x} * \sqrt{(x^{5})^2} * \sqrt{(y^6)^2} = \sqrt{x} * |x^5| * |y^6| = x^5y^6\sqrt{x}$, если y ≠ 0

4) $\sqrt{36m^2n} = \sqrt{36} * \sqrt{m^2} * \sqrt{n} = 6|m| * \sqrt{n} = -6m\sqrt{n}$, если m < 0

5) $\sqrt{4x^6y^5} = \sqrt{4} * \sqrt{x^{6}} * \sqrt{y^{5}} = 2 * \sqrt{(x^{3})^2} * \sqrt{y^4 * y} = 2 * |x^3| * \sqrt{(y^2)^2 * y} = 2x^3y^2\sqrt{y}$, если x > 0

6) $\sqrt{700a^5b^22} = \sqrt{700} * \sqrt{a^5} * \sqrt{b^22} = \sqrt{100 * 7} * \sqrt{a^4a} * \sqrt{(b^{11})^2} = 10\sqrt{7} * \sqrt{(a^2)^2 * a} * |b^{11}| = -10\sqrt{7} * a^2\sqrt{a}b^{11} = -10a^2b^{11}\sqrt{7a}$, если b < 0

900. Внесите множитель под знак корня:
1) $3\sqrt{10}$;
2) $2\sqrt{13}$;
3) $0,3\sqrt{3}$;
4) $\frac{1}{5}\sqrt{175}$;
5) $\frac{2}{7}\sqrt{98}$;
6) $-5\sqrt{7}$;
7) $-0,5\sqrt{30}$;
8) $4\sqrt{a}$.

Решение:

1) $3\sqrt{10} = \sqrt{3^2 * 10} = \sqrt{9 * 10} = \sqrt{90}$

2) $2\sqrt{13} = \sqrt{2^2 * 13} = \sqrt{4 * 13} = \sqrt{52}$

3) $0,3\sqrt{3} = \sqrt{0,3^2 * 3} = \sqrt{0,09 * 3} = \sqrt{0,27}$

4) $\frac{1}{5}\sqrt{175} = \sqrt{(\frac{1}{5})^2 * 175} = \sqrt{\frac{1}{25} * 175} = \sqrt{7}$

5) $\frac{2}{7}\sqrt{98} = \sqrt{(\frac{2}{7})^2 * 98} = \sqrt{\frac{4}{49} * 98} = \sqrt{4 * 2} = \sqrt{8}$

6) $-5\sqrt{7} = -\sqrt{5^2 * 7} = -\sqrt{25 * 7} = -\sqrt{175}$

7) $-0,5\sqrt{30} = -\sqrt{0,5^2 * 30} = -\sqrt{0,25 * 30} = -\sqrt{7,5}$

8) $4\sqrt{a} = \sqrt{4^2 * a} = \sqrt{16a}$

901. Внесите множитель под знак корня:
1) $a\sqrt{5}$;
2) $b\sqrt{-b}$;
3) $x\sqrt{x^7}$;
4) $n\sqrt{m}$,если n ≤ 0.

Решение:

1) $a\sqrt{5} = \sqrt{a^2} * \sqrt{5} = \sqrt{a^2 * 5} = \sqrt{5a^2}$

2) $b\sqrt{-b} = -\sqrt{b^2} * \sqrt{-b} = -\sqrt{b^2 * (-b)} = -\sqrt{-b^3}$

3) $x\sqrt{x^7} = \sqrt{x^2} * \sqrt{x^7} = \sqrt{x^2 * x^7} = \sqrt{x^9}$

4) $n\sqrt{m} = -\sqrt{n^2} * \sqrt{m} = -\sqrt{n^2 * m} = -\sqrt{mn^2}$,если n ≤ 0

902. Сравните числа:
1) $5\sqrt{6}$ и $6\sqrt{5}$;
2) $\sqrt{55}$ и $3\sqrt{6}$;
3) $0,3\sqrt{3\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{0,3}$;
4) $\frac{3}{7}\sqrt{16\frac{1}{3}}$ и $\frac{3}{4}\sqrt{5\frac{1}{3}}$.

Решение:

1) $5\sqrt{6} = \sqrt{5^2} * \sqrt{6} = \sqrt{25 * 6} = \sqrt{150}$
$6\sqrt{5} = \sqrt{6^2} * \sqrt{5} = \sqrt{36 * 5} = \sqrt{180}$
$\sqrt{150} < \sqrt{180}$
$5\sqrt{6} < 6\sqrt{5}$

2) $3\sqrt{6} = \sqrt{3^2} * \sqrt{6} = \sqrt{9 * 6} = \sqrt{54}$
$\sqrt{55} > \sqrt{54}$
$\sqrt{55} > 3\sqrt{6}$

3) $0,3\sqrt{3\frac{1}{2}} = \sqrt{0,3^2} * \sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{0,09 * \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{0,63}{2}} = \sqrt{0,315}$
$\sqrt{0,315} > \sqrt{0,3}$
$0,3\sqrt{3\frac{1}{2}} > \sqrt{0,3}$

4) $\frac{3}{7}\sqrt{16\frac{1}{3}} = \sqrt{(\frac{3}{7})^2} * \sqrt{\frac{49}{3}} = \sqrt{\frac{9}{49} * \frac{49}{3}} = \sqrt{\frac{3}{1} * \frac{1}{1}} = \sqrt{3}$
$\frac{3}{4}\sqrt{5\frac{1}{3}} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2} * \sqrt{\frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{9}{16} * \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{3}{1} * \frac{1}{1}} = \sqrt{3}$
$\sqrt{3} = \sqrt{3}$
$\frac{3}{7}\sqrt{16\frac{1}{3}} = \frac{3}{4}\sqrt{5\frac{1}{3}}$

903. Упростите выражение:
1) $\sqrt{64a} + \sqrt{4a} - \sqrt{121a}$;
2) $\sqrt{45} + \sqrt{20} - \sqrt{320}$;
3) $6\sqrt{125a} - 2\sqrt{80a} + 3\sqrt{180a}$.

Решение:

1) $\sqrt{64a} + \sqrt{4a} - \sqrt{121a} = \sqrt{64} * \sqrt{a} + \sqrt{4} * \sqrt{a} - \sqrt{121} * \sqrt{a} = \sqrt{a}(8 + 2 - 11) = -\sqrt{a}$

2) $\sqrt{45} + \sqrt{20} - \sqrt{320} = \sqrt{5 * 9} + \sqrt{5 * 4} - \sqrt{5 * 64} = \sqrt{5} * \sqrt{9} + \sqrt{5} * \sqrt{4} - \sqrt{5} * \sqrt{64} = \sqrt{5}(3 + 2 - 8) = -3\sqrt{5}$

3) $6\sqrt{125a} - 2\sqrt{80a} + 3\sqrt{180a} = 6\sqrt{5a * 25} - 2\sqrt{5a * 16} + 3\sqrt{5a * 36} = 6 * \sqrt{5a} * \sqrt{25} - 2 * \sqrt{5a} * \sqrt{16} + 3 * \sqrt{5a} * \sqrt{36} = \sqrt{5a}(6 * 5 - 2 * 4 + 3 * 6) = \sqrt{5a}(30 - 8 + 18) = 40\sqrt{5a}$

904. Выполните умножение:
1) $(\sqrt{80} - \sqrt{45})\sqrt{5}$;
2) $(2\sqrt{6} + \sqrt{54} - \sqrt{96})\sqrt{6}$;
3) $(12 - \sqrt{10})(3 + \sqrt{10})$;
4) $(2\sqrt{5} + \sqrt{7})(2\sqrt{7} - \sqrt{5})$;
5) $(\sqrt{19} - \sqrt{13})(\sqrt{19} + \sqrt{13})$;
6) $(4\sqrt{m} + 9\sqrt{n})(4\sqrt{m} - 9\sqrt{n})$;
7) $(\sqrt{5x} + \sqrt{11y})^2$;
8) $(3\sqrt{11} - 2\sqrt{10})^2$.

Решение:

1) $(\sqrt{80} - \sqrt{45})\sqrt{5} = \sqrt{80} * \sqrt{5} - \sqrt{45} * \sqrt{5} = \sqrt{400} - \sqrt{225} = 20 - 15 = 5$

2) $(2\sqrt{6} + \sqrt{54} - \sqrt{96})\sqrt{6} = 2\sqrt{6} * \sqrt{6} + \sqrt{54} * \sqrt{6} - \sqrt{96} * \sqrt{6} = 2 * 6 + \sqrt{324} - \sqrt{576} = 12 + 18 - 24 = 6$

3) $(12 - \sqrt{10})(3 + \sqrt{10}) = 12 * 3 - \sqrt{10} * 3 + 12 * \sqrt{10} - \sqrt{10} * \sqrt{10} = 36 - 3\sqrt{10} + 12\sqrt{10} - 10 = 26 + 9\sqrt{10}$

4) $(2\sqrt{5} + \sqrt{7})(2\sqrt{7} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5} * 2\sqrt{7} + \sqrt{7} * 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5} * \sqrt{5} - \sqrt{7} * \sqrt{5} = 4\sqrt{5 * 7} + 2 * 7 - 2 * 5 - \sqrt{35} = 4\sqrt{35} + 14 - 10 - \sqrt{35} = 3\sqrt{35} + 4$

5) $(\sqrt{19} - \sqrt{13})(\sqrt{19} + \sqrt{13}) = (\sqrt{19})^2 - (\sqrt{13})^2 = 19 - 13 = 6$

6) $(4\sqrt{m} + 9\sqrt{n})(4\sqrt{m} - 9\sqrt{n}) = (4\sqrt{m})^2 - (9\sqrt{n})^2 = 16m - 81n$

7) $(\sqrt{5x} + \sqrt{11y})^2 = (\sqrt{5x})^2 + 2 * \sqrt{5x} * \sqrt{11y} + (\sqrt{11y})^2 = 5x + 2\sqrt{55xy} + 11y$

8) $(3\sqrt{11} - 2\sqrt{10})^2 = (3\sqrt{11})^2 - 2 * 3\sqrt{11} * 2\sqrt{10} + (2\sqrt{10})^2 = 9 * 11 - 12\sqrt{110} + 4 * 10 = 99 - 12\sqrt{110} + 40 = 139 - 12\sqrt{110}$

905. Сократите дробь:
1) $\frac{x^2 - 19}{x + \sqrt{19}}$;
2) $\frac{\sqrt{x} - 6}{x - 36}$;
3) $\frac{m + 8\sqrt{m}}{m - 64}$;
4) $\frac{29 - \sqrt{29}}{\sqrt{29}}$;
5) $\frac{a - 6\sqrt{ab} + 9b}{a - 9b}$, если a > 0, b > 0;
6) $\frac{11 - \sqrt{33}}{\sqrt{33} - 3}$.

Решение:

1) $\frac{x^2 - 19}{x + \sqrt{19}} = \frac{x^2 - (\sqrt{19})^2}{x + \sqrt{19}} = \frac{(x - \sqrt{19})(x + \sqrt{19})}{x + \sqrt{19}} = x - \sqrt{19}$

2) $\frac{\sqrt{x} - 6}{x - 36} = \frac{\sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x})^2 - 6^2} = \frac{\sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 6}$

3) $\frac{m + 8\sqrt{m}}{m - 64} = \frac{(\sqrt{m})^2 + 8\sqrt{m}}{(\sqrt{m})^2 - 8^2} = \frac{\sqrt{m}(\sqrt{m} + 8)}{(\sqrt{m} - 8)(\sqrt{m} + 8)} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} - 8}$

4) $\frac{29 - \sqrt{29}}{\sqrt{29}} = \frac{(\sqrt{29})^2 - \sqrt{29}}{\sqrt{29}} = \frac{\sqrt{29}(\sqrt{29} - 1)}{\sqrt{29}} = \sqrt{29} - 1$

5) $\frac{a - 6\sqrt{ab} + 9b}{a - 9b} = \frac{(\sqrt{a})^2 - 2 * 3\sqrt{ab} + (3\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a})^2 - (3\sqrt{b})^2} = \frac{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - 3\sqrt{b}}{\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}$, если a > 0, b > 0

6) $\frac{11 - \sqrt{33}}{\sqrt{33} - 3} = \frac{(\sqrt{11})^2 - \sqrt{11} * \sqrt{3}}{\sqrt{11} * \sqrt{3} - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{11}(\sqrt{11} - \sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{11} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{11}{3}} = \sqrt{3\frac{2}{3}}$

906. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) $\frac{a^3}{\sqrt{b}}$;
2) $\frac{7}{a\sqrt{a}}$;
3) $\frac{2}{\sqrt{13}}$;
4) $\frac{6}{\sqrt{3}}$;
5) $\frac{n + 9}{\sqrt{n + 9}}$;
6) $\frac{3}{\sqrt{13} - 2}$;
7) $\frac{6}{\sqrt{21} + \sqrt{15}}$;
8) $\frac{18}{\sqrt{47} - \sqrt{29}}$.

Решение:

1) $\frac{a^3}{\sqrt{b}} = \frac{a^3 * \sqrt{b}}{\sqrt{b} * \sqrt{b}} = \frac{a^3\sqrt{b}}{b}$

2) $\frac{7}{a\sqrt{a}} = \frac{7 * \sqrt{a}}{a\sqrt{a} * \sqrt{a}} = \frac{7\sqrt{a}}{a * a} = \frac{7\sqrt{a}}{a^2}$

3) $\frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2 * \sqrt{13}}{\sqrt{13} * \sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

4) $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 * \sqrt{3}}{\sqrt{3} * \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

5) $\frac{n + 9}{\sqrt{n + 9}} = \frac{(n + 9) * \sqrt{n + 9}}{\sqrt{n + 9} * \sqrt{n + 9}} = \frac{(n + 9) * \sqrt{n + 9}}{n + 9} = \sqrt{n + 9}$

6) $\frac{3}{\sqrt{13} - 2} = \frac{3(\sqrt{13} + 2)}{(\sqrt{13} - 2)(\sqrt{13} + 2)} = \frac{3(\sqrt{13} + 2)}{13 - 4} = \frac{3(\sqrt{13} + 2)}{9} = \frac{\sqrt{13} + 2}{3}$

7) $\frac{6(\sqrt{21} - \sqrt{15})}{(\sqrt{21} + \sqrt{15})(\sqrt{21} - \sqrt{15})} = \frac{6(\sqrt{21} - \sqrt{15})}{21 - 15} = \frac{6(\sqrt{21} - \sqrt{15})}{6} = \sqrt{21} - \sqrt{15}$

8) $\frac{18}{\sqrt{47} - \sqrt{29}} = \frac{18(\sqrt{47} + \sqrt{29})}{(\sqrt{47} - \sqrt{29})(\sqrt{47} + \sqrt{29})} = \frac{18(\sqrt{47} + \sqrt{29})}{47 - 29} = \frac{18(\sqrt{47} + \sqrt{29})}{18} = \sqrt{47} + \sqrt{29}$