Ответы к странице 142

563. Вынесите множитель из-под знака корня:
1) $\sqrt{-m^9}$;
2) $\sqrt{a^4b^{13}}$, если a ≠ 0;
3) $\sqrt{4x^6y}$, если x < 0;
4) $\sqrt{m^7n^7}$, если m ≤ 0, n ≤ 0;
5) $\sqrt{45x^3y^{14}}$, если y < 0;
6) $\sqrt{64a^2b^{9}}$, если a > 0;
7) $\sqrt{242m^{11}b^{18}}$, если b < 0;
8) $\sqrt{-m^2n^{2}p^{15}}$, если m > 0, n < 0.

Решение:

1) $\sqrt{-m^9} = \sqrt{(-m)^8 * (-m)} = |-m|^4 * \sqrt{-m} = m^4\sqrt{-m}$

2) $\sqrt{a^4b^{13}} = \sqrt{a^4 * b^{12} * b} = \sqrt{(a^2)^2} * \sqrt{(b^6)^2} * \sqrt{b} = a^2b^6\sqrt{b}$, если a ≠ 0

3) $\sqrt{4x^6y} = \sqrt{4 * (x^3)^2 * y} = \sqrt{2^2} * \sqrt{(x^3)^2} * \sqrt{y} = 2 * |x^3| * \sqrt{y} = -2x^3\sqrt{y}$, если x < 0

4) $\sqrt{m^7n^7} = \sqrt{m^6 * m * n^6 * n} = \sqrt{(m^3)^2} * \sqrt{m} * \sqrt{(n^3)^2} * \sqrt{n} = |m^3| * |n^3| * \sqrt{mn} = m^3n^3\sqrt{mn}$, если m ≤ 0, n ≤ 0

5) $\sqrt{45x^3y^{14}} = \sqrt{9 * 5 * x^2 * x * (y^{7})^2} = \sqrt{3^2} * \sqrt{5} * \sqrt{x^2} * \sqrt{x} * \sqrt{(y^{7})^2} = 3 * |y^7| * \sqrt{5x} = -3y^7\sqrt{5x}$, если y < 0

6) $\sqrt{64a^2b^{9}} = \sqrt{8^2 * a^2 * b^{8} * b} = \sqrt{8^2} * \sqrt{a^2} * \sqrt{(b^4)^2} * \sqrt{b} = 8 * |a| * |b^4| * \sqrt{b} = 8ab^4\sqrt{b}$, если a > 0

7) $\sqrt{242m^{11}b^{18}} = \sqrt{2 * 121 * m^{10} * m * (b^{9})^2} = \sqrt{2} * \sqrt{11^2} * \sqrt{(m^5)^2} * \sqrt{m} * \sqrt{(b^9)^2} = 11 * |m^5| * |b^9| * \sqrt{2m} = -11m^5b^9\sqrt{2m}$, если b < 0

8) $\sqrt{-m^2n^{2}p^{15}} = \sqrt{-1 * m^2 * n^{2} * p^{14} * p} = \sqrt{m^2} * \sqrt{n^2} * \sqrt{(p^7)^2} * \sqrt{-p} = |m^2| * |n^2| * |p^7| * \sqrt{-p} = m^2n^2p^7\sqrt{-p}$, если m > 0, n < 0

564. Вынесите множитель из−под знака корня:
1) $\sqrt{-m^{19}}$;
2) $\sqrt{a^{23}b^{24}}$, если b ≠ 0;
3) $\sqrt{49a^{2}b}$, если a < 0;
4) $\sqrt{a^9b^9}$;
5) $\sqrt{27x^{15}y^{34}}$, если y < 0;
6) $\sqrt{-50m^{6}n^6p^7}$, если m > 0, n > 0.

Решение:

1) $\sqrt{-m^{19}} = \sqrt{-1 * m^{18} * m} = \sqrt{(m^9)^2} * \sqrt{-m} = |m^9| * \sqrt{-m} = -m^9\sqrt{-m}$

2) $\sqrt{a^{23}b^{24}} = \sqrt{a^{22} * a * (b^{12})^2} = \sqrt{(a^{11})^2} * \sqrt{a} * \sqrt{(b^{12})^2} = |a^{11}| * |b^{12}| * \sqrt{a} = a^{11}b^{12}\sqrt{a}$, если b ≠ 0

3) $\sqrt{49a^{2}b} = \sqrt{49 * a^{2} * b} = \sqrt{7^2} * \sqrt{a^2} * \sqrt{b} = 7 * |a| * \sqrt{b} = -7a\sqrt{b}$, если a < 0

4) $\sqrt{a^9b^9} = \sqrt{a^8 * a * b^8 * b} = \sqrt{(a^4)^2} * \sqrt{a} * \sqrt{(b^4)^2} * \sqrt{b} = |a^4| * |b^4| * \sqrt{ab} = a^4b^4\sqrt{ab}$

5) $\sqrt{27x^{15}y^{34}} = \sqrt{9 * 3 * x^{14} * x * (y^{17})^2} = \sqrt{3^2} * \sqrt{3} * \sqrt{(x^7)^2} * \sqrt{x} * \sqrt{(y^{17})^2} = 3 * |x^{7}| * |y^{17}| * \sqrt{3x} = -3x^7y^{17}\sqrt{3x}$, если y < 0

6) $\sqrt{-50m^{6}n^6p^7} = \sqrt{-2 * 25 * (m^{3})^2 * (n^3)^2 * p^6 * p} = \sqrt{5^2} * \sqrt{(m^3)^2} * \sqrt{(n^3)^2} * \sqrt{(p^3)^2} * \sqrt{-2p} = 5 * |m^3| * |n^3| * |p^3| * \sqrt{-2p} = -5m^3n^3p^3\sqrt{-2p}$, если m > 0, n > 0

565. Внесите множитель под знак корня:
1) $a\sqrt{3}$;
2) $b\sqrt{-b}$;
3) $c\sqrt{c^5}$;
4) $m\sqrt{n}$, если m ≥ 0;
5) $xy^2\sqrt{xy}$, если x ≤ 0;
6) $2p\sqrt{\frac{p}{2}}$;
7) $2p\sqrt{-\frac{p}{2}}$;
8) $ab^2\sqrt{\frac{a}{b}}$, если a ≥ 0.

Решение:

1) $a\sqrt{3} = \sqrt{a^2} * \sqrt{3} = \sqrt{3a^2}$

2) $b\sqrt{-b} = \sqrt{b^2} * \sqrt{-b} = \sqrt{b^2 * (-b)} = \sqrt{-b^3}$

3) $c\sqrt{c^5} = \sqrt{c^2} * \sqrt{c^5} = \sqrt{c^2 * c^5} = \sqrt{c^7}$

4) $m\sqrt{n} = \sqrt{m^2} * \sqrt{n} = \sqrt{m^2n}$, если m ≥ 0

5) $xy^2\sqrt{xy} = -\sqrt{x^2} * \sqrt{(y^2)^2} * \sqrt{xy} = -\sqrt{x^2y^4 * xy} = -\sqrt{x^3y^5}$, если x ≤ 0

6) $2p\sqrt{\frac{p}{2}} = \sqrt{(2p)^2} * \sqrt{\frac{p}{2}} = \sqrt{4p^2 * (\frac{p}{2})} = \sqrt{2p^2 * p} = \sqrt{2p^3}$

7) $2p\sqrt{-\frac{p}{2}} = -\sqrt{(2p)^2} * \sqrt{-\frac{p}{2}} = -\sqrt{4p^2 * (-\frac{p}{2})} = -\sqrt{2p^2 * (-p)} = -\sqrt{-2p^3}$

8) $ab^2\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{(ab^2)^2} * \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{a^2b^4 * \frac{a}{b}} = \sqrt{a^2b^3 * a} = \sqrt{a^3b^3}$, если a ≥ 0

566. Внесите множитель под знак корня:
1) $m\sqrt{7}$, если m ≥ 0;
2) $3n\sqrt{6}$, если n ≤ 0;
3) $p\sqrt{p^3}$;
4) $x^4y\sqrt{x^5y}$, если y ≤ 0;
5) $7a\sqrt{\frac{3}{a}}$;
6) $5ab\sqrt{-\frac{a^7}{5b}}$, если a ≤ 0, b > 0.

Решение:

1) $m\sqrt{7} = \sqrt{m^2} * \sqrt{7} = \sqrt{7m^2}$, если m ≥ 0

2) $3n\sqrt{6} = -\sqrt{(3n)^2} * \sqrt{6} = -\sqrt{9n^2 * 6} = -\sqrt{54n^2}$, если n ≤ 0

3) $p\sqrt{p^3} = \sqrt{p^2} * \sqrt{p^3} = \sqrt{p^2 * p^3} = \sqrt{p^5}$

4) $x^4y\sqrt{x^5y} = -\sqrt{(x^4y)^2} * \sqrt{x^5y} = -\sqrt{x^8y^2 * x^5y} = -\sqrt{x^{13}y^3}$, если y ≤ 0

5) $7a\sqrt{\frac{3}{a}} = \sqrt{(7a)^2} * \sqrt{\frac{3}{a}} = \sqrt{49a^2 * \frac{3}{a}} = \sqrt{49a * 3} = \sqrt{147a}$

6) $5ab\sqrt{-\frac{a^7}{5b}} = -\sqrt{(5ab)^2} * \sqrt{-\frac{a^7}{5b}} = -\sqrt{25a^2b^2 * (-\frac{a^7}{5b})} = -\sqrt{-5a^2b * a^7} = -\sqrt{-5a^9b}$, если a ≤ 0, b > 0

567. Докажите тождество:
1) $(\frac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 7} - \frac{15\sqrt{a}}{a + 14\sqrt{a} + 49}) : \frac{8\sqrt{a} + 41}{a - 49} + \frac{7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = \sqrt{a} - 7$;
2) $\frac{a\sqrt{a} + 27}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} * (\frac{\sqrt{a} - 3}{a - 3\sqrt{a} + 9} - \frac{\sqrt{ab} - 9}{a\sqrt{a} + 27}) = \sqrt{a}$.

Решение:

1) $(\frac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 7} - \frac{15\sqrt{a}}{a + 14\sqrt{a} + 49}) : \frac{8\sqrt{a} + 41}{a - 49} + \frac{7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = (\frac{8\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 7} - \frac{15\sqrt{a}}{(\sqrt{a} + 7)^2}) * \frac{a - 49}{8\sqrt{a} + 41} + \frac{7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = \frac{8\sqrt{a}(\sqrt{a} + 7) - 15\sqrt{a}}{(\sqrt{a} + 7)^2} * \frac{(\sqrt{a} - 7)(\sqrt{a} + 7)}{8\sqrt{a} + 41} + \frac{7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = \frac{8a + 56\sqrt{a} - 15\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 7} * \frac{\sqrt{a} - 7}{8\sqrt{a} + 41} + \frac{7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = \frac{8a + 41\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 7} * \frac{\sqrt{a} - 7}{8\sqrt{a} + 41} + \frac{7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = \frac{\sqrt{a}(8\sqrt{a} + 41)}{\sqrt{a} + 7} * \frac{\sqrt{a} - 7}{8\sqrt{a} + 41} + \frac{7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 7} * \frac{\sqrt{a} - 7}{1} + \frac{7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = \frac{a - 7\sqrt{a} + 7\sqrt{a} - 49}{\sqrt{a} + 7} = \frac{a - 49}{\sqrt{a} + 7} = \frac{(\sqrt{a} - 7)(\sqrt{a} + 7)}{\sqrt{a} + 7} = \sqrt{a} - 7$

2) $\frac{a\sqrt{a} + 27}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} * (\frac{\sqrt{a} - 3}{a - 3\sqrt{a} + 9} - \frac{\sqrt{ab} - 9}{a\sqrt{a} + 27}) = \frac{(\sqrt{a})^3 + 3^3}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} * (\frac{\sqrt{a} - 3}{a - 3\sqrt{a} + 9} - \frac{\sqrt{ab} - 9}{(\sqrt{a})^3 + 3^3}) = \frac{(\sqrt{a} + 3)(a - 3\sqrt{a} + 9)}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} * (\frac{\sqrt{a} - 3}{a - 3\sqrt{a} + 9} - \frac{\sqrt{ab} - 9}{(\sqrt{a} + 3)(a - 3\sqrt{a} + 9)}) = \frac{(\sqrt{a} + 3)(a - 3\sqrt{a} + 9)}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} * \frac{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3) - (\sqrt{ab} - 9)}{(\sqrt{a} + 3)(a - 3\sqrt{a} + 9)} = \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} * \frac{a - 9 - \sqrt{ab} + 9}{1} = \frac{a - \sqrt{ab}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \sqrt{a}$

568. Упростите выражение:
1) $(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a + \sqrt{ab}} - \frac{1}{a - b} * \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}) : \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a + \sqrt{ab}}$;
2) $(\sqrt{a} + \sqrt{b} - \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}) : (\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}})$.

Решение:

1) $(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a + \sqrt{ab}} - \frac{1}{a - b} * \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}) : \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a + \sqrt{ab}} = (\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} - \frac{1}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} * \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}) : \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = (\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} - \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} * \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}) * \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = (\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} - \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}) * \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) - \sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} * \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b} - \sqrt{a})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} * \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

2) $(\sqrt{a} + \sqrt{b} - \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}) : (\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}) = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + \sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} : \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b}) + \sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{a + \sqrt{ab} + \sqrt{ab} + b - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} : \frac{a - \sqrt{ab} + \sqrt{ab} + b}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{a + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} : \frac{a + b}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{a + b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} * \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a + b} = \sqrt{a}$