Ответы к странице 8

5. Найдите допустимые значения переменной, входящей в выражение:
1) 2x − 5;
2) $\frac{18}{m}$;
3) $\frac{9}{x - 5}$;
4) $\frac{x - 5}{9}$;
5) $\frac{2 + y}{1 + y}$;
6) $\frac{1}{x^2 + 4}$;
7) $\frac{5}{x^2-4}$;
8) $\frac{5}{|x| - 4}$;
9) $\frac{2}{x - 2} + \frac{3x}{x + 1}$;
10) $\frac{x + 4}{x(x - 6)}$;
11) $\frac{x}{|x| + 1}$;
12) $\frac{x^2}{(x - 3)(x + 5)}$.

Решение:

1) 2x − 5
x − любое число

2) $\frac{18}{m}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
m ≠ 0
m − любое число, кроме 0.

3) $\frac{9}{x - 5}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x − 5 ≠ 0
x ≠ 5
x − любое число, кроме 5

4) $\frac{x - 5}{9}$
x − любое число

5) $\frac{2 + y}{1 + y}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
1 + y ≠ 0
y ≠ − 1
y − любое число, кроме −1

6) $\frac{1}{x^2 + 4}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$x^2 + 4 ≠ 0$
$x^2 ≠ -4$
т.к. квадрат любого числа, всегда число положительное, значит $x^2$ не может бытьт равен −4, следовательно x в знаменателе дроби может быть любым числом.

7) $\frac{5}{x^2-4}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$x^2 - 4 ≠ 0$
$x^2 ≠ 4$
$x ≠ ±2$
x − любое число, кроме −2 и 2.

8) $\frac{5}{|x| - 4}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
|x| − 4 ≠ 0
|x| ≠ 4
x ≠ ±4
x − любое число, кроме −4 и 4.

9) $\frac{2}{x - 2} + \frac{3x}{x + 1}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
и
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
x − любое число, кроме −1 и 2.

10) $\frac{x + 4}{x(x - 6)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x(x − 6) ≠ 0
x ≠ 0
и
x − 6 ≠ 0
x ≠ 6
x − любое число, кроме 0 и 6.

11) $\frac{x}{|x| + 1}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
|x| + 1 ≠ 0
|x| ≠ −1
модуль любого числа всегда число положительное, а значит |x| не может быть равен −1, следовательно x в знаменателе дроби может быть любым числом.

12) $\frac{x^2}{(x - 3)(x + 5)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
(x − 3)(x + 5) ≠ 0
x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
и
x + 5 ≠ 0
x ≠ −5
x − любое число, кроме −5 и 3.

6. При каких значениях переменных имеет смысл выражение:
1) $\frac{9}{y}$;
2) $\frac{x + 7}{x + 9}$;
3) $\frac{m - 1}{m^2 - 9}$;
4) $\frac{x}{|x| - 3}$;
5) $\frac{4}{x - 8} + \frac{1}{x - 1}$;
6) $\frac{2x - 3}{(x + 2)(x - 10)}$?

Решение:

1) $\frac{9}{y}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
y ≠ 0
Выражение имеет смысл при любых y, кроме 0.

2) $\frac{x + 7}{x + 9}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x + 9 ≠ 0
x ≠ −9
Выражение имеет смысл при любых x, кроме −9.

3) $\frac{m - 1}{m^2 - 9}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$m^2 - 9 ≠ 0$
$m^2 ≠ 9$
$m ≠ ±3$
Выражение имеет смысл при любых m, кроме −3 и 3.

4) $\frac{x}{|x| - 3}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
|x| − 3 ≠ 0
|x| ≠ 3
x ≠ ±3
Выражение имеет смысл при любых x, кроме −3 и 3.

5) $\frac{4}{x - 8} + \frac{1}{x - 1}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x − 8 ≠ 0
x ≠ 8
и
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
Выражение имеет смысл при любых x, кроме 1 и 8.

6) $\frac{2x - 3}{(x + 2)(x - 10)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
(x + 2)(x − 10) ≠ 0
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
и
x − 10 ≠ 0
x ≠ 10
Выражение имеет смысл при любых x, кроме −2 и 10.

7. Запишите рациональную дробь, которая содержит переменную x и имеет смысл при всех значениях x, кроме:
1) x = 7;
2) x = −1;
3) x = 0 и x = 4.

Решение:

1) $\frac{2x + 1}{x - 7}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x − 7 ≠ 0
x ≠ 7
Выражение имеет смысл при любых x, кроме 7.

2) $\frac{3x}{x + 1}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
Выражение имеет смысл при любых x, кроме −1.

3) $\frac{5x - 2}{x(x - 4)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
x(x − 4) ≠ 0
x ≠ 0
и
x − 4 ≠ 0
x ≠ 4
Выражение имеет смысл при любых x, кроме 0 и 4.

8. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную y, допустимыми значениями которой являются:
1) все числа, кроме 5;
2) все числа, кроме −2 и 0;
3) все числа, кроме 3, −3 и 6;
4) все числа.

Решение:

1) $\frac{2y}{y - 5}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
y − 5 ≠ 0
y ≠ 5
Выражение имеет смысл при любых y, кроме 5.

2) $\frac{3y + 1}{y(y + 2)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
y ≠ 0
и
y + 2 ≠ 0
y ≠ −2
Выражение имеет смысл при любых y, кроме −2 и 0.

3) $\frac{7y}{(y - 3)(y + 3)(y - 6)}$
знаменатель не может быть равен 0, тогда:
y − 3 ≠ 0
y ≠ 3
и
y + 3 ≠ 0
y ≠ −3
и
y − 6 ≠ 0
y ≠ 6
Выражение имеет смысл при любых y, кроме −3, 3 и 6.

4) $\frac{9y + 10}{2}$
Выражение имеет смысл при любых y.

9. Автомобиль проехал по шоссе a км со скоростью 75 км/ч и по грунтовой дороге b км со скоростью 40 км/ч. За какое время автомобиль проехал весь путь? Составьте выражение и найдите его значение при a = 150, b = 20.

Решение:

Дано:

                        v            t      S
По шоссе       75 км/ч  ?    a км
По грунтовой
дороге            40 км/ч  ?    b км

Решение:
1) составим выражение:
$\frac{a}{75} + \frac{b}{40}$
2) при a = 150, b = 20:
$\frac{150}{75} + \frac{20}{40} = 2 + \frac{1}{2} = 2\frac{1}{2}$ ч = 2 ч 30 мин − время за которое автомобиль проехал весь путь.
Ответ: за 2 ч 30 мин.

10. Ученик купил ручки по 58 р., заплатив за них m р., и по 45 р., заплатив за них n р. Сколько ручек купил ученик? Составьте выражение и найдите его значение при m = 174, n = 180.

Решение:

Дано:

                 цена      сумма количество
Ручки №1 58 руб.   m руб.      ?
Ручки №2 45 руб.   n руб.      ?

Решение:
1) составим выражение:
$\frac{m}{58} + \frac{n}{45}$
2) при m = 174, n = 180:
$\frac{174}{58} + \frac{180}{45} = 3 + 4 = 7$ (ручек) − купил ученик.
Ответ: 7 ручек.

11. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной x значение дроби:
1) $\frac{1}{x^2}$ положительное;
2) $\frac{x^2 + 1}{6x - 9 - x^2}$ отрицательное.

Решение:

1) $\frac{1}{x^2}$
Рассмотрим числитель:
1 > 0 − число положительное.
Рассмотрим знаменатель:
$x^2 > 0$ − число положительное, так как квадрат любого числа, всегда число положительное.
Следовательно:
$\frac{1}{x^2} > 0$ − число положительное, так как частное двух положительных чисел, есть число положительное.

2) $\frac{x^2 + 1}{6x - 9 - x^2}$
Рассмотрим числитель:
$x^2 + 1 > 0$ − число положительное, так как $x^2 > 0$ − число положительное и 1 − число положительное. А сумма двух положительных чисел есть число положительное.
Рассмотрим знаменатель:
$6x - 9 - x^2 = -(x^2 - 6x + 9) = -(x - 3)^2$ − число отрицательное, так как $(x - 3)^2$ − число положительное, так как является квадратом числа.
Следовательно:
$\frac{x^2 + 1}{6x - 9 - x^2} > 0$ − число отрицательное, так как частное положительного и отрицательного чисел, есть число отрицательное.

12. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной x значение дроби:
1) $\frac{-x^2}{x^2 + 5}$ неположительное;
2) $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x + 1}$ неотрицательное.

Решение:

1) $\frac{-x^2}{x^2 + 5}$
Рассмотрим числитель:
$-x^2 < 0$ − число отрицательное, так как $x^2 > 0$ − число положительное, так как является квадратом числа. Либо $-x^2 = 0$, при x = 0.
Найдем при каком значении x числитель равен 0:
$-x^2 = 0$
$x^2 = 0$
x = 0
Рассмотрим знаменатель:
$x^2 + 5$ − число положительное, так как $x^2 > 0$ − число положительное и 5 − число положительное. А сумма двух положительных чисел есть число положительное.
Следовательно:
$\frac{-x^2}{x^2 + 5} ≤ 0$ − число неположительное:
$\frac{-x^2}{x^2 + 5} = 0$ при x = 0
и
$\frac{-x^2}{x^2 + 5} < 0$ при x ≠ 0

2) $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x + 1}$
Рассмотрим числитель:
$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 > 0$ − число положительное, так как квадрат любого числа есть число положительное.
Найдем при каком значении x числитель равен 0:
$(x + 2)^2 = 0$
x + 2 = 0
x = −2
Рассмотрим знаменатель:
$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 > 0$ − число положительное, так как квадрат любого числа есть число положительное.
Знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$(x - 1)^2 ≠ 0$
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
Следовательно:
$\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x + 1} ≥ 0$ − число неотрицательное:
$\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x + 1} = 0$ при x = −2
и
$\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 2x + 1} > 0$ при x ≠ −2 и x ≠ 1

13. Известно, что 5x − 15y = 1. Найдите значение выражения:
1) x − 3y;
2) $\frac{8}{2x - 6y}$;
3) $\frac{18y - 6x}{9}$;
4) $\frac{1}{x^2 - 6xy + 9y^2}$.

Решение:

1) 5x − 15y = 1
5(x − 3y) = 1
$x - 3y = \frac{1}{5}$

2) $\frac{8}{2x - 6y} = \frac{8}{2(x - 3y)}$
т.к. $x - 3y = \frac{1}{5}$, то:
$\frac{8}{2 * \frac{1}{5}} = \frac{8}{\frac{2}{5}} = 8 * \frac{5}{2} = 4 * 5 = 20$

3) $\frac{18y - 6x}{9} = \frac{6(3y - x)}{9} = -\frac{6(x - 3y)}{9}$
т.к. $x - 3y = \frac{1}{5}$, то:
$-\frac{6 * \frac{1}{5}}{9} = -\frac{\frac{6}{5}}{9} = -(\frac{6}{5} * \frac{1}{9}) = -(\frac{2}{5} * \frac{1}{3}) = -\frac{2}{15}$

4) $\frac{1}{x^2 - 6xy + 9y^2} = \frac{1}{(x - 3y)^2}$
т.к. $x - 3y = \frac{1}{5}$, то:
$\frac{1}{(\frac{1}{5})^2} = \frac{1}{\frac{1}{25}} = 25$