Ответы к странице 129

§16. Свойства арифметического квадратного корня

Вопросы

1. Какому выражению тождественно равно выражение $\sqrt{a^2}$?

Ответ:

Для любого действительного числа а выполняется равенство $\sqrt{a^2} = |a|$.

2. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из степени.

Ответ:

Для любого действительного числа а и любого натурального числа n выполняется равенство $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$.

3. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из произведения.

Ответ:

Для любых действительных чисел а и b таких, что a ≥ 0 и b ≥ 0, выполняется равенство $\sqrt{ab} = \sqrt{a} * \sqrt{b}$.

4. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из дроби.

Ответ:

Для любых действительных чисел а и b таких, что a ≥ 0 и b ≥ 0, выполняется равенство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

5. Известно, что неотрицательные числа $a_1$ и $a_2$ таковы, что $a_1 > a_2$. Сравните значения выражений $\sqrt{a_1}$ и $\sqrt{a_2}$.

Ответ:

Для любых неотрицательных чисел $a_1$ и $a_2$ таких, что $a_1 > a_2$, выполняется неравенство $\sqrt{a_1} > \sqrt{a_2}$.

Упражнения

496. Чему равно значение выражения:
1) $\sqrt{0,4^2}$;
2) $\sqrt{(-1,8)^2}$;
3) $2\sqrt{(-15)^2}$;
4) $3\sqrt{1,2^2}$;
5) $\sqrt{6^4}$;
6) $\sqrt{(-2)^{10}}$;
7) $5\sqrt{(-10)^4}$;
8) $-4\sqrt{(-1)^{14}}$;
9) $-10\sqrt{3^6}$?

Решение:

1) $\sqrt{0,4^2} = |0,4| = 0,4$

2) $\sqrt{(-1,8)^2} = |-1,8| = 1,8$

3) $2\sqrt{(-15)^2} = 2 * |-15| = 2 * 15 = 30$

4) $3\sqrt{1,2^2} = 3 * |1,2| = 3 * 1,2 = 3,6$

5) $\sqrt{6^4} = \sqrt{(6^2)^2} = |6^2| = |36| = 36$

6) $\sqrt{(-2)^{10}} = \sqrt{((-2)^{5})^2} = |(-2)^5| = |-32| = 32$

7) $5\sqrt{(-10)^4} = 5 * \sqrt{((-10)^2)^2} = 5 * |(-10)^2| = 5 * |100| = 5 * 100 = 500$

8) $-4\sqrt{(-1)^{14}} = -4 * \sqrt{((-1)^{7})^2} = -4 * |(-1)^7| = -4 * |-1| = -4 * 1 = -4$

9) $-10\sqrt{3^6} = -10 * \sqrt{(3^3)^2} = -10 * |3^3| = -10 * |27| = -10 * 27 = -270$

497. Найдите значение выражения:
1) $\sqrt{a^2}$, если a = 4,6; −18,6;
2) $\sqrt{b^4}$, если b = −3; 1,2;
3) $0,1\sqrt{c^6}$, если c = −2; 5.

Решение:

1) $\sqrt{a^2}$
$\sqrt{a^2} = |a|$
при a = 4,6:
$\sqrt{4,6^2} = |4,6| = 4,6$
при a = −18,6:
$\sqrt{-18,6^2} = |-18,6| = 18,6$

2) $\sqrt{b^4} = \sqrt{(b^2)^2} = |b^2|$
при b = −3:
$\sqrt{(-3)^4} = \sqrt{((-3)^2)^2} = |(-3)^2| = |9| = 9$
при b = 1,2:
$\sqrt{1,2^4} = \sqrt{(1,2^2)^2} = |1,2^2| = |1,44| = 1,44$

3) $0,1\sqrt{c^6} = 0,1\sqrt{(c^3)^2} = 0,1 * |c^3|$
при c = −2:
$0,1\sqrt{(-2)^6} = 0,1\sqrt{((-2)^3)^2} = 0,1 * |(-2)^3| = 0,1 * |-8| = 0,1 * 8 = 0,8$
при c = 5:
$0,1\sqrt{5^6} = 0,1\sqrt{(5^3)^2} = 0,1 * |5^3| = 0,1 * 125 = 12,5$