Ответы к странице 191

779. Решите уравнение:
1) $(x + 3)^4 - 3(x + 3)^2 - 4 = 0$;
2) $(2x + 1)^4 - 10(2x + 1)^2 + 9 = 0$;
3) $(6x - 7)^4 + 4(6x - 7)^2 + 3 = 0$;
4) $(x - 4)^4 + 2(x - 4)^2 - 8 = 0$.

Решение:

1) $(x + 3)^4 - 3(x + 3)^2 - 4 = 0$
$((x + 3)^2)^2 - 3(x + 3)^2 - 4 = 0$
$(x + 3)^2 = y$, y ≥ 0
$y^2 - 3y - 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ − не удовлетворяет условию, так как y ≥ 0.
$(x + 3)^2 = 4$
x + 3 = 2
x = 2 − 3
x = −1
или
x + 3 = −2
x = −2 − 3
x = −5
Ответ: −5 и −1

2) $(2x + 1)^4 - 10(2x + 1)^2 + 9 = 0$
$((2x + 1)^2)^2 - 10(2x + 1)^2 + 9 = 0$
$(2x + 1)^2 = y$, y ≥ 0
$y^2 - 10y + 9 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 1 * 9 = 100 - 36 = 64 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$(2x + 1)^2 = 9$
2x + 1 = 3
2x = 3 − 1
2x = 2
x = 1
или
2x + 1 = −3
2x = −3 − 1
2x = −4
x = −2

$(2x + 1)^2 = 1$
2x + 1 = 1
2x = 1 − 1
2x = 0
x = 0
или
2x + 1 = −1
2x = −1 − 1
2x = −2
x = −1
Ответ: −2, −1, 0, 1.

3) $(6x - 7)^4 + 4(6x - 7)^2 + 3 = 0$
$((6x - 7)^2)^2 + 4(6x - 7)^2 + 3 = 0$
$(6x - 7)^2 = y$, y ≥ 0
$y^2 + 4y + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ − не удовлетворяет условию, так как y ≥ 0.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ − не удовлетворяет условию, так как y ≥ 0.
Ответ: нет корней

4) $(x - 4)^4 + 2(x - 4)^2 - 8 = 0$
$((x - 4)^2)^2 + 2(x - 4)^2 - 8 = 0$
$(x - 4)^2 = y$, y ≥ 0
$y^2 + 2y - 8 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ − не удовлетворяет условию, так как y ≥ 0.
$(x - 4)^2 = 2$
$x - 4 = \sqrt{2}$
$x = 4 + \sqrt{2}$
или
$x - 4 = -\sqrt{2}$
$x = 4 - \sqrt{2}$
Ответ: $4 - \sqrt{2}$ и $4 + \sqrt{2}$

780. Решите уравнение:
1) $(3x - 1)^4 - 20(3x - 1)^2 + 64 = 0$;
2) $(2x + 3)^4 - 24(2x + 3)^2 - 25 = 0$;

Решение:

1) $(3x - 1)^4 - 20(3x - 1)^2 + 64 = 0$
$((3x - 1)^2)^2 - 20(3x - 1)^2 + 64 = 0$
$(3x - 1)^2 = y$, y ≥ 0
$y^2 - 20y + 64 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 * 1 * 64 = 400 - 256 = 144 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + \sqrt{144}}{2 * 1} = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - \sqrt{144}}{2 * 1} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$(3x - 1)^2 = 16$
3x − 1 = 4
3x = 4 + 1
3x = 5
$x = \frac{5}{3}$
$x = 1\frac{2}{3}$
или
3x − 1 = −4
3x = −4 + 1
3x = −3
x = −1

$(3x - 1)^2 = 4$
$3x - 1 = 2$
$3x = 2 + 1$
3x = 3
x = 1
или
$3x - 1 = -2$
$3x = -2 + 1$
$3x = -1$
$x = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$, −1, 1, $1\frac{2}{3}$.

2) $(2x + 3)^4 - 24(2x + 3)^2 - 25 = 0$
$((2x + 3)^2)^2 - 24(2x + 3)^2 - 25 = 0$
$(2x + 3)^2 = y$, y ≥ 0
$y^2 - 24y - 25 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 * 1 * (-25) = 576 + 100 = 676 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + \sqrt{676}}{2 * 1} = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - \sqrt{676}}{2 * 1} = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ − не удовлетворяет условию, так как y ≥ 0.
$(2x + 3)^2 = 25$
2x + 3 = 5
2x = 5 − 3
2x = 2
x = 1
или
2x + 3 = −5
2x = −5 − 3
2x = −8
x = −4
Ответ: −4 и 1

781. Решите уравнение:
1) $x - 3\sqrt{x} + 2 = 0$;
2) $x - \sqrt{x} - 12 = 0$;
3) $3x - 10\sqrt{x} + 3 = 0$;
4) $8\sqrt{x} + x + 7 = 0$;
5) $6\sqrt{x} - 27 + x = 0$;
6) $8x - 10\sqrt{x} + 3 = 0$.

Решение:

1) $x - 3\sqrt{x} + 2 = 0$
$(\sqrt{x})^2 - 3\sqrt{x} + 2 = 0$
$\sqrt{x} = y$, y ≥ 0
$y^2 - 3y + 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$\sqrt{x} = 2$
$(\sqrt{x})^2 = 2^2$
x = 4
или
$\sqrt{x} = 1$
$(\sqrt{x})^2 = 1^2$
x = 1
Ответ: 1 и 4

2) $x - \sqrt{x} - 12 = 0$
$(\sqrt{x})^2 - \sqrt{x} - 12 = 0$
$\sqrt{x} = y$, y ≥ 0
$y^2 - y - 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ − не удовлетворяет условию, так как y ≥ 0.
$\sqrt{x} = 4$
$(\sqrt{x})^2 = 4^2$
x = 16
Ответ: 16

3) $3x - 10\sqrt{x} + 3 = 0$
$3(\sqrt{x})^2 - 10\sqrt{x} + 3 = 0$
$\sqrt{x} = y$, y ≥ 0
$3y^2 - 10y + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 * 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 * 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\sqrt{x} = 3$
$(\sqrt{x})^2 = 3^2$
x = 9
или
$\sqrt{x} = \frac{1}{3}$
$(\sqrt{x})^2 = \frac{1}{3}^2$
$x = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$ и 9

4) $8\sqrt{x} + x + 7 = 0$
$8\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 + 7 = 0$
$\sqrt{x} = y$, y ≥ 0
$y^2 + 8y + 7 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 1 * 7 = 64 - 28 = 36 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{-8 + 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ − не удовлетворяет условию, так как y ≥ 0.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{-8 - 6}{2} = \frac{-14}{2} = -7$ − не удовлетворяет условию, так как y ≥ 0.
Ответ: нет корней

5) $6\sqrt{x} - 27 + x = 0$
$6\sqrt{x} - 27 + (\sqrt{x})^2 = 0$
$\sqrt{x} = y$, y ≥ 0
$y^2 + 6y - 27 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 1 * (-27) = 36 + 108 = 144 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{144}}{2 * 1} = \frac{-6 + 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{144}}{2 * 1} = \frac{-6 - 12}{2} = \frac{-18}{2} = -9$ − не удовлетворяет условию, так как y ≥ 0.
$\sqrt{x} = 3$
$(\sqrt{x})^2 = 3^2$
x = 9
Ответ: 9

6) $8x - 10\sqrt{x} + 3 = 0$
$8(\sqrt{x})^2 - 10\sqrt{x} + 3 = 0$
$\sqrt{x} = y$, y ≥ 0
$8y^2 - 10y + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 8 * 3 = 100 - 96 = 4 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 * 8} = \frac{10 + 2}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 * 8} = \frac{10 - 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
$\sqrt{x} = \frac{3}{4}$
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{3}{4})^2$
$x = \frac{9}{16}$
или
$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{2})^2$
$x = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$ и $\frac{9}{16}$

782. Решите уравнение:
1) $x - 6\sqrt{x} + 8 = 0$;
2) $x - 5\sqrt{x} - 50 = 0$;
3) $2x - 3\sqrt{x} + 1 = 0$.

Решение:

1) $x - 6\sqrt{x} + 8 = 0$
$(\sqrt{x})^2 - 6\sqrt{x} + 8 = 0$
$\sqrt{x} = y$, y ≥ 0
$y^2 - 6y + 8 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$\sqrt{x} = 4$
$(\sqrt{x})^2 = 4^2$
x = 16
или
$\sqrt{x} = 2$
$(\sqrt{x})^2 = 2^2$
x = 4
Ответ: 4 и 16

2) $x - 5\sqrt{x} - 50 = 0$
$(\sqrt{x})^2 - 5\sqrt{x} - 50 = 0$
$\sqrt{x} = y$, y ≥ 0
$y^2 - 5y - 50 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * (-50) = 25 + 200 = 225 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{225}}{2 * 1} = \frac{5 + 15}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{225}}{2 * 1} = \frac{5 - 15}{2} = \frac{-10}{2} = -5$ − не удовлетворяет условию, так как y ≥ 0.
$\sqrt{x} = 10$
$(\sqrt{x})^2 = 10^2$
x = 100
Ответ: 100

3) $2x - 3\sqrt{x} + 1 = 0$
$2(\sqrt{x})^2 - 3\sqrt{x} + 1 = 0$
$\sqrt{x} = y$, y ≥ 0
$2y^2 - 3y + 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 * 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 * 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\sqrt{x} = 1$
$(\sqrt{x})^2 = 1^2$
x = 1
или
$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{2})^2$
$x = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$ и 1

783. Решите уравнение:
1) $\frac{x^2 - 9x + 18}{x^2 - 9} = 0$;
2) $\frac{3x^2 - 14x - 5}{3x^2 + x} = 0$;
3) $\frac{x^2 - 12x + 35}{x^2 - 10x + 25} = 0$;
4) $\frac{x^2 - 7x + 6}{x^2 + 2x - 3} = 0$.

Решение:

1) $\frac{x^2 - 9x + 18}{x^2 - 9} = 0$
$x^2 - 9 ≠ 0$
(x − 3)(x + 3) ≠ 0
x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
или
x + 3 ≠ 0
x ≠ −3
$x^2 - 9x + 18 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 1 * 18 = 81 - 72 = 9 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 3.
Ответ: 6

2) $\frac{3x^2 - 14x - 5}{3x^2 + x} = 0$
$3x^2 + x ≠ 0$
$x(3x + 1) ≠ 0$
x ≠ 0
или
3x + 1 ≠ 0
3x ≠ −1
$x ≠ -\frac{1}{3}$
$3x^2 - 14x - 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 * 3 * (-5) = 196 + 60 = 256 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{256}}{2 * 3} = \frac{14 + 16}{6} = \frac{30}{6} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 * 3} = \frac{14 - 16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ − не удовлетворяет условию, так как $x ≠ -\frac{1}{3}$.
Ответ: 5

3) $\frac{x^2 - 12x + 35}{x^2 - 10x + 25} = 0$
$x^2 - 10x + 25 ≠ 0$
$(x - 5)^2 ≠ 0$
x − 5 ≠ 0
x ≠ 5
$x^2 - 12x + 35 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 * 1 * 35 = 144 - 140 = 4$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{12 + 2}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{12 - 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 5.
Ответ: 7

4) $\frac{x^2 - 7x + 6}{x^2 + 2x - 3} = 0$
$x^2 + 2x - 3 ≠ 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} ≠ 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} ≠ -3$
$x^2 - 7x + 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 1 * 6 = 49 - 24 = 25$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 1.
Ответ: 6

784. Решите уравнение:
1) $\frac{x^2 - 9x - 10}{x^2 - 1} = 0$;
2) $\frac{x^2 + 5x - 14}{x^2 - 6x + 8} = 0$.

Решение:

1) $\frac{x^2 - 9x - 10}{x^2 - 1} = 0$
$x^2 - 1 ≠ 0$
(x − 1)(x + 1) ≠ 0
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
или
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
$x^2 - 9x - 10 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 1 * (-10) = 81 + 40 = 121 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{121}}{2 * 1} = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{121}}{2 * 1} = \frac{9 - 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ −1.
Ответ: 10

2) $\frac{x^2 + 5x - 14}{x^2 - 6x + 8} = 0$
$x^2 - 6x + 8 ≠ 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} ≠ 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} ≠ 2$
$x^2 + 5x - 14 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 1 * (-14) = 25 + 56 = 81 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 2.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 * 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
Ответ: −7

785. Решите уравнение:
1) $\frac{2y}{y - 3} = \frac{3y + 3}{y}$;
2) $\frac{3x + 4}{x - 3} = \frac{2x - 9}{x + 1}$;
3) $\frac{5x + 2}{x - 1} = \frac{4x + 13}{x + 7}$;
4) $\frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} = 3x - 4$.

Решение:

1) $\frac{2y}{y - 3} = \frac{3y + 3}{y}$
y ≠ 0
и
y − 3 ≠ 0
y ≠ 3
$\frac{2y}{y - 3} = \frac{3y + 3}{y}$ | * y(y − 3)
2y * y = (3y + 3)(y − 3)
$2y^2 = 3y^2 + 3y - 9y - 9$
$2y^2 - 3y^2 + 6y + 9 = 0$
$-y^2 + 6y + 9 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * (-1) * 9 = 36 + 36 = 72 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{72}}{2 * (-1)} = \frac{-6 + 6\sqrt{2}}{-2} = 3 - 3\sqrt{2}$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{72}}{2 * (-1)} = \frac{-6 - 6\sqrt{2}}{-2} = 3 + 3\sqrt{2}$
Ответ: $3 - 3\sqrt{2}$ и $3 + 3\sqrt{2}$

2) $\frac{3x + 4}{x - 3} = \frac{2x - 9}{x + 1}$
x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
и
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
$\frac{3x + 4}{x - 3} - \frac{2x - 9}{x + 1} = 0$ | * (x − 3)(x + 1)
(3x + 4)(x + 1) − (2x − 9)(x − 3) = 0
$3x^2 + 4x + 3x + 4 - (2x^2 - 9x - 6x + 27) = 0$
$3x^2 + 7x + 4 - 2x^2 + 15x - 27 = 0$
$x^2 + 22x - 23 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 * 1 * (-23) = 484 + 92 = 576 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 + \sqrt{576}}{2 * 1} = \frac{-22 + 24}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 - \sqrt{576}}{2 * 1} = \frac{-22 - 24}{2} = \frac{-46}{2} = -23$
Ответ: −23 и 1

3) $\frac{5x + 2}{x - 1} = \frac{4x + 13}{x + 7}$
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
и
x + 7 ≠ 0
x ≠ −7
$\frac{5x + 2}{x - 1} - \frac{4x + 13}{x + 7} = 0$ | * (x − 1)(x + 7)
(5x + 2)(x + 7) − (4x + 13)(x − 1) = 0
$5x^2 + 2x + 35x + 14 - (4x^2 + 13x - 4x - 13) = 0$
$5x^2 + 37x + 14 - 4x^2 - 9x + 13 = 0$
$x^2 + 28x + 27 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 * 1 * 27 = 784 - 108 = 676 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 + \sqrt{676}}{2 * 1} = \frac{-28 + 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 - \sqrt{676}}{2 * 1} = \frac{-28 - 26}{2} = \frac{-54}{2} = -27$
Ответ: −27 и −1

4) $\frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} = 3x - 4$
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
$\frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} - (3x - 4) = 0$ | * (x − 1)
$2x^2 - 3x + 1 - (3x - 4)(x - 1) = 0$
$2x^2 - 3x + 1 - (3x^2 - 4x - 3x + 4) = 0$
$2x^2 - 3x + 1 - 3x^2 + 7x - 4 = 0$
$-x^2 + 4x - 3 = 0$ | * (−1)
$x^2 - 4x + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 1.
Ответ: 3

786. Найдите корни уравнения:
1) $\frac{2x - 13}{x - 6} = \frac{x + 6}{x}$;
2) $\frac{3x^2 - 4x - 20}{x + 2} = 2x - 5$.

Решение:

1) $\frac{2x - 13}{x - 6} = \frac{x + 6}{x}$
x − 6 ≠ 0
x ≠ 6
и
x ≠ 0
$\frac{2x - 13}{x - 6} - \frac{x + 6}{x} = 0$ | * x(x − 6)
$x(2x - 13) - (x + 6)(x - 6) = 0$
$2x^2 - 13x - (x^2 - 36) = 0$
$2x^2 - 13x - x^2 + 36 = 0$
$x^2 - 13x + 36 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 * 1 * 36 = 169 - 144 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Ответ: 4 и 9

2) $\frac{3x^2 - 4x - 20}{x + 2} = 2x - 5$
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
$\frac{3x^2 - 4x - 20}{x + 2} - (2x - 5) = 0$ | * (x + 2)
$3x^2 - 4x - 20 - (2x - 5)(x + 2) = 0$
$3x^2 - 4x - 20 - (2x^2 - 5x + 4x - 10) = 0$
$3x^2 - 4x - 20 - 2x^2 + x + 10 = 0$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ −2.
Ответ: 5

787. Найдите корни уравнения:
1) $\frac{10}{x + 2} + \frac{9}{x} = 1$;
2) $\frac{48}{14 - x} - \frac{48}{14 + x} = 1$;
3) $\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x}{x - 2} = \frac{8}{x^2 - 4}$;
4) $\frac{x - 1}{x + 3} + \frac{x + 1}{x - 3} = \frac{2x + 18}{x^2 - 9}$;
5) $\frac{4x - 10}{x - 1} + \frac{x + 6}{x + 1} = 4$;
6) $\frac{1}{x} - \frac{10}{x^2 - 5x} = \frac{3 - x}{x - 5}$;
7) $\frac{4x}{x^2 + 4x + 4} - \frac{x - 2}{x^2 + 2x} = \frac{1}{x}$;
8) $\frac{6}{x^2 - 36} - \frac{3}{x^2 - 6x} + \frac{x - 12}{x^2 + 6x} = 0$;
9) $\frac{x}{x + 7} + \frac{x + 7}{x - 7} = \frac{63 - 5x}{x^2 - 49}$;
10) $\frac{4}{x^2 - 10x + 25} - \frac{1}{x + 5} = \frac{10}{x^2 - 25}$.

Решение:

1) $\frac{10}{x + 2} + \frac{9}{x} = 1$
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
и
x ≠ 0
$\frac{10}{x + 2} + \frac{9}{x} - 1 = 0$ | * x(x + 2)
10x + 9(x + 2) − x(x + 2) = 0
$10x + 9x + 18 - x^2 - 2x = 0$
$-x^2 + 17x + 18 = 0$ | * 1
$x^2 - 17x - 18 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 * 1 * (-18) = 289 + 72 = 361 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{361}}{2 * 1} = \frac{17 + 19}{2} = \frac{36}{2} = 18$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{361}}{2 * 1} = \frac{17 - 19}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: −1 и 18

2) $\frac{48}{14 - x} - \frac{48}{14 + x} = 1$
14 − x ≠ 0
x ≠ 14
и
14 + x ≠ 0
x ≠ −14
$\frac{48}{14 - x} - \frac{48}{14 + x} - 1 = 0$ | * (14 − x)(14 + x)
48(14 + x) − 48(14 − x) − (14 − x)(14 + x) = 0
$672 + 48x - 672 + 48x - (196 - x^2) = 0$
$x^2 + 96x - 196 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 96^2 - 4 * 1 * (-196) = 9216 + 784 = 10000 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-96 + \sqrt{10000}}{2 * 1} = \frac{-96 + 100}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-96 - \sqrt{10000}}{2 * 1} = \frac{-96 - 100}{2} = \frac{-196}{2} = -98$
Ответ: −98 и 2

3) $\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x}{x - 2} = \frac{8}{x^2 - 4}$
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
и
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
$\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x}{x - 2} - \frac{8}{(x - 2)(x + 2)} = 0$ | * (x − 2)(x + 2)
(x − 1)(x − 2) + x(x + 2) − 8 = 0
$x^2 - x - 2x + 2 + x^2 + 2x - 8 = 0$
$2x^2 - x - 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 2 * (-6) = 1 + 48 = 49 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 * 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 2.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 * 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$
Ответ: −1,5

4) $\frac{x - 1}{x + 3} + \frac{x + 1}{x - 3} = \frac{2x + 18}{x^2 - 9}$
x + 3 ≠ 0
x ≠ −3
и
x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
$\frac{x - 1}{x + 3} + \frac{x + 1}{x - 3} - \frac{2x + 18}{(x - 3)(x + 3)} = 0$ | * (x − 3)(x + 3)
(x − 1)(x − 3) + (x + 1)(x + 3) − (2x + 18) = 0
$x^2 - x - 3x + 3 + x^2 + x + 3x + 3 - 2x - 18 = 0$
$2x^2 - 2x - 12 = 0$ | : 2
$x^2 - x - 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 3.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Ответ: −2

5) $\frac{4x - 10}{x - 1} + \frac{x + 6}{x + 1} = 4$
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
и
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
$\frac{4x - 10}{x - 1} + \frac{x + 6}{x + 1} - 4 = 0$ | * (x − 1)(x + 1)
$(4x - 10)(x + 1) + (x + 6)(x - 1) - 4(x^2 - 1) = 0$
$4x^2 - 10x + 4x - 10 + x^2 + 6x - x - 6 - 4x^2 + 4 = 0$
$x^2 - x - 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: −3 и 4

6) $\frac{1}{x} - \frac{10}{x^2 - 5x} = \frac{3 - x}{x - 5}$
$\frac{1}{x} - \frac{10}{x(x - 5)} = \frac{3 - x}{x - 5}$
x ≠ 0
и
x − 5 ≠ 0
x ≠ 5
$\frac{1}{x} - \frac{10}{x(x - 5)} - \frac{3 - x}{x - 5} = 0$ | * x(x − 5)
x − 5 − 10 − x(3 − x) = 0
$x - 15 - 3x + x^2 = 0$
$x^2 - 2x - 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 5.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Ответ: −3

7) $\frac{4x}{x^2 + 4x + 4} - \frac{x - 2}{x^2 + 2x} = \frac{1}{x}$
$\frac{4x}{(x + 2)^2} - \frac{x - 2}{x(x + 2)} = \frac{1}{x}$
x ≠ 0
и
$(x + 2)^2 ≠ 0$
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
$\frac{4x}{(x + 2)^2} - \frac{x - 2}{x(x + 2)} - \frac{1}{x} = 0$ | * $x(x + 2)^2$
$4x * x - (x - 2)(x + 2) - (x + 2)^2 = 0$
$4x^2 - (x^2 - 4) - (x^2 + 4x + 4) = 0$
$4x^2 - x^2 + 4 - x^2 - 4x - 4 = 0$
$2x^2 - 4x = 0$
2x(x − 2) = 0
2x = 0
x = 0 − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 0.
или
x − 2 = 0
x = 2
Ответ: 2

8) $\frac{6}{x^2 - 36} - \frac{3}{x^2 - 6x} + \frac{x - 12}{x^2 + 6x} = 0$
$\frac{6}{(x - 6)(x + 6)} - \frac{3}{x(x - 6)} + \frac{x - 12}{x(x + 6)} = 0$
x ≠ 0
и
x − 6 ≠ 0
x ≠ 6
и
x + 6 ≠ 0
x ≠ −6
$\frac{6}{(x - 6)(x + 6)} - \frac{3}{x(x - 6)} + \frac{x - 12}{x(x + 6)} = 0$ | * x(x − 6)(x + 6)
$6x - 3(x + 6) + (x - 12)(x - 6) = 0$
$6x - 3x - 18 + x^2 - 12x - 6x + 72 = 0$
$x^2 - 15x + 54 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 * 1 * 54 = 225 - 216 = 9 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{15 + 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{15 - 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 6.
Ответ: 9

9) $\frac{x}{x + 7} + \frac{x + 7}{x - 7} = \frac{63 - 5x}{x^2 - 49}$
$\frac{x}{x + 7} + \frac{x + 7}{x - 7} - \frac{63 - 5x}{(x - 7)(x + 7)} = 0$
x − 7 ≠ 0
x ≠ 7
и
x + 7 ≠ 0
x ≠ −7
$\frac{x}{x + 7} + \frac{x + 7}{x - 7} - \frac{63 - 5x}{(x - 7)(x + 7)} = 0$ | * (x − 7)(x + 7)
$x(x - 7) + (x + 7)^2 - (63 - 5x) = 0$
$x^2 - 7x + x^2 + 14x + 49 - 63 + 5x = 0$
$2x^2 + 12x - 14 = 0$ | : 2
$x^2 + 6x - 7 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ −7.
Ответ: 1

10) $\frac{4}{x^2 - 10x + 25} - \frac{1}{x + 5} = \frac{10}{x^2 - 25}$
$\frac{4}{(x - 5)^2} - \frac{1}{x + 5} = \frac{10}{(x - 5)(x + 5)}$
$(x - 5)^2 ≠ 0$
x − 5 ≠ 0
x ≠ 5
и
x + 5 ≠ 0
x ≠ −5
$\frac{4}{(x - 5)^2} - \frac{1}{x + 5} - \frac{10}{(x - 5)(x + 5)} = 0$ | * $(x - 5)^2(x + 5)$
$4(x + 5) - (x - 5)^2 - 10(x - 5) = 0$
$4x + 20 - (x^2 - 10x + 25) - 10x + 50 = 0$
$4x + 20 - x^2 + 10x - 25 - 10x + 50 = 0$
$-x^2 + 4x + 45 = 0$ | * (−1)
$x^2 - 4x - 45 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-45) = 16 + 180 = 196 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{196}}{2 * 1} = \frac{4 + 14}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{196}}{2 * 1} = \frac{4 - 14}{2} = \frac{-10}{2} = -5$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ −5.
Ответ: 9