Ответы к странице 172

699. Расположите в порядке возрастания числа $\sqrt{17}, 3\sqrt{2}$ и 4.

Решение:

$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 * 2} = \sqrt{9 * 2} = \sqrt{18}$
$4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16}$
$\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{18}$, тогда:
$4 < \sqrt{17} < 3\sqrt{2}$

700. Имеется лом сплавов двух сортов, которые содержат 5% и 45% никеля соответственно. Сколько металлолома каждого из этих сортов нужно взять, чтобы получить 120 т сплава с 30−процентным содержанием никеля?

Решение:

Пусть x (т) − сплава 5−и процентного, тогда:
0,05x (т) − никеля в 5−и процентном сплаве;
(120 − x) (т) − сплава 45−и процентного;
0,45(120 − x) (т) − никеля в 45−и процентном сплаве.
Зная, что нужно получить 120 т сплава с 30−процентном содержанием никеля, можно составить уравнение:
0,05x + 0,45(120 − x) = 0,3 * 120
0,05x + 54 − 0,45x = 36
−0,4x = 36 − 54
−0,4x = −18
$x = 18 : \frac{4}{10} = 18 * \frac{5}{2} = 9 * 5 = 45$ (т) − сплава 5−и процентного;
120 − x = 120 − 45 = 75 (т) − сплава 45−и процентного.
Ответ: нужно взять 45 т 5−и процентного и 75 т 45−и процентного сплавов.

701. В книге недостает нескольких листов. На левой странице разворота стоит номер страницы 24, а на правой − номер 53. Сколько листов недостает между этими страницами?

Решение:

1) (53 − 24) − 1 = 29 − 1 = 28 (страниц) − между 24 и 53 страницами;
2) так как на каждом листе по две страницы, то:
28 : 2 = 14 (листов) − между 24 и 53 страницами.
Ответ: 14 листов

702. Решите уравнение, найдите сумму и произведение его корней и сравните их со вторым коэффициентом и свободным членом уравнения:
1) $x^2 - 4x - 12 = 0$;
2) $x^2 + 9x + 14 = 0$.

Решение:

1) $x^2 - 4x - 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_1 + x_2 = 6 + (-2) = 6 - 2 = 4$
$x_1 * x_2 = 6 * (-2) = -12$
Ответ:
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 * x_2 = c$

2) $x^2 + 9x + 14 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 * 1 * 14 = 81 + 56 = 25$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-9 + 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-9 - 5}{2} = \frac{-14}{2} = -7$
$x_1 + x_2 = -2 + (-7) = -2 - 7 = -9$
$x_1 * x_2 = -2 * (-7) = 14$
Ответ:
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 * x_2 = c$

703. Заполните таблицу, где a, b и c − коэффициенты квадратного уравнения $ax^2 + bx + x = 0$, а $x_1$ и $x_2$ − его корни.

Уравнение $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$ $x_1$ $x_2$ $x_1+ x_2$ $x_1x_2$
$7x^2 - 8x + 1=0$
$6x^2 + 13x - 15=0$

Решение

$7x^2 - 8x + 1=0$
$-\frac{b}{a} = -\frac{-8}{7} = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7}$
$\frac{c}{a} = \frac{1}{7}$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 7 * 1 = 64 - 28 = 36$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{36}}{2 * 7} = \frac{8 + 6}{14} = \frac{14}{14} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{36}}{2 * 7} = \frac{8 - 6}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
$x_1 + x_2 = 1 + \frac{1}{7} = 1\frac{1}{7}$
$x_1 * x_2 = 1 * \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$

$6x^2 + 13x - 15=0$
$-\frac{b}{a} = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6}$
$\frac{c}{a} = \frac{-15}{6} = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$
$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 * 6 * (-15) = 169 + 360 = 529$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + \sqrt{529}}{2 * 6} = \frac{-13 + 23}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - \sqrt{529}}{2 * 6} = \frac{-13 - 23}{12} = \frac{-36}{12} = -3$
$x_1 + x_2 = \frac{5}{6} + (-3) = \frac{5}{6} - 2\frac{6}{6} = -2\frac{1}{6}$
$x_1 * x_2 = \frac{5}{6} * (-3) = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$

Ответ:
Уравнение $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$ $x_1$ $x_2$ $x_1+ x_2$ $x_1x_2$
$7x^2 - 8x + 1=0$ $1\frac{1}{7}$ $\frac{1}{7}$ $1$ $\frac{1}{7}$ $1\frac{1}{7}$ $\frac{1}{7}$
$6x^2 + 13x - 15=0$ $-2\frac{1}{6}$ $-2\frac{1}{2}$ $\frac{5}{6}$ $-3$ $-2\frac{1}{6}$ $-2\frac{1}{2}$

№704. Докажите, что из 101 кубика, которые окрашены в произвольные цвета, можно выбрать или 11 кубиков одного цвета, или 11 кубиков разных цветов.

Решение:

Если для окраски кубиков использовано не менее 11 цветов, то найдутся 11 кубиков разного цвета.
Но для окраски могли использовать не более 10 цветов. Если предположить, что количество кубиков каждого из 10 цветов не более 10, то общее количество кубиков не превосходит 10*10 = 100. Получаем противоречие. В этом случае найдется еще хотя бы 1 кубик нужного цвета, а всего 11 кубиков одного цвета.