Ответы к странице 121

§15. Числовые множества

Вопросы

1. Какие числа образуют множество целых чисел?

Ответ:

Все натуральные числа, противоположные им числа и число нуль образуют множество целых чисел.

2. Какой буквой обозначают множество целых чисел?

Ответ:

Множество целых чисел обозначают буквой Z.

3. Какие числа образуют множество рациональных чисел?

Ответ:

Целые и дробные (как положительные, так и отрицательные) числа образуют множество рациональных чисел.

4. Какой буквой обозначают множество рациональных чисел?

Ответ:

Множество рациональных чисел обозначают буквой Q.

5. В виде какого отношения можно представить каждое рациональное число?

Ответ:

Каждое рациональное число можно представить в виде отношения $\frac{m}{n}$, где m — целое число, а n — натуральное.

6. Как связаны между собой рациональные числа и бесконечные периодические десятичные дроби?

Ответ:

Следовательно, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Справедливо и такое утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа.

7. Как называют числа, не являющиеся рациональными?

Ответ:

Числа, не являющиеся рациональными, называют иррациональными.

8. Объединение каких множеств образует множество действительных чисел?

Ответ:

Объединение множеств иррациональных и рациональных чисел называют множеством действительных чисел.

9. Какой буквой обозначают множество действительных чисел?

Ответ:

Множество действительных чисел обозначают буквой R.

10. Как взаимосвязаны числовые множества N, Z, Q и R?

Ответ:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂R

Упражнения

468. Какое из данных утверждений неверно:
1) −3 − действительное число;
2) −3 − рациональное число;
3) −3 − целое число;
4) −3 − натуральное число?

Решение:

1) −3 − действительное число − верно;
2) −3 − рациональное число − верно;
3) −3 − целое число − верно;
4) −3 − натуральное число − неверно, так как −3 не является натуральным числом..
Ответ: 4) −3 − натуральное число

469. Верно ли утверждение:
1) 1 ∈ N;
2) 1 ∈ Z;
3) 1 ∈ Q;
4) 1 ∈ R;
5) −2,3 ∈ N;
6) −2,3 ∈ R;
7) $\sqrt{7}$ ∉ R;
8) $\sqrt{121}$ ∉ R;
9) $\frac{π}{3}$ ∈ R?

Решение:

1) 1 ∈ N − верно, так как 1 принадлежит множеству натуральных чисел.

2) 1 ∈ Z − верно, так как 1 принадлежит множеству целых чисел.

3) 1 ∈ Q − верно, так как 1 принадлежит множеству рациональных чисел.

4) 1 ∈ R − верно, так как 1 принадлежит множеству действительных чисел.

5) −2,3 ∈ N − неверно, так как −2,3 не принадлежит множеству натуральных чисел.

6) −2,3 ∈ R − верно, так как −2,3 принадлежит множеству действительных чисел.

7) $\sqrt{7}$ ∉ R − неверно, так как $\sqrt{7}$ принадлежит множеству действительных чисел.

8) $\sqrt{121}$ ∉ R − неверно, так как $\sqrt{121}$ принадлежит множеству действительных чисел.

9) $\frac{π}{3}$ ∈ R − верно, так как $\frac{π}{3}$ принадлежит множеству действительных чисел.

470. Верно ли утверждение:
1) 0 ∈ N;
2) 0 ∉ Z;
3) 0 ∈ R;
4) $-\frac{3}{7}$ ∈ Q;
5) $-\frac{3}{7}$ ∉ R;
6) $\sqrt{9}$ ∈ Q;
7) $\sqrt{9}$ ∈ Z;
8) $\sqrt{9}$ ∈ R?

Решение:

1) 0 ∈ N − неверно, так как 0 не принадлежит множеству натуральных чисел.

2) 0 ∉ Z − неверно, так как 0 принадлежит множеству целых чисел.

3) 0 ∈ R − верно, так как 0 принадлежит множеству действительных чисел.

4) $-\frac{3}{7}$ ∈ Q − верно, так как $-\frac{3}{7}$ принадлежит множеству рациональных чисел.

5) $-\frac{3}{7}$ ∉ R − неверно, так как $-\frac{3}{7}$ принадлежит множеству действительных чисел.

6) $\sqrt{9} = 3$ ∈ Q − верно, так как $\sqrt{9}$ принадлежит множеству рациональных чисел.

7) $\sqrt{9} = 3$ ∈ Z − верно, так как $\sqrt{9}$ принадлежит множеству целых чисел.

8) $\sqrt{9}$ ∈ R − верно, так как $\sqrt{9}$ принадлежит множеству действительных чисел.

471. Истинным или ложным является высказывание:
1) любое натуральное число является целым;
2) любое натуральное число является рациональным;
3) любое натуральное число является действительным;
4) любое рациональное число является целым;
5) любое действительно число является рациональным;
6) любое рациональное число является действительным;
7) любое иррациональное число является действительным;
8) любое действительное число является рациональным или иррациональным?

Решение:

1) любое натуральное число является целым − истинно

2) любое натуральное число является рациональным − истинно

3) любое натуральное число является действительным − истинно

4) любое рациональное число является целым − ложно, так как дробное число − рациональное, но не целое.

5) любое действительно число является рациональным − ложно, так как иррациональное число, также является действительным.

6) любое рациональное число является действительным − истинно

7) любое иррациональное число является действительным − истинно

8) любое действительное число является рациональным или иррациональным − истинно