Ответы к странице 84

345. Решите уравнение:
$\frac{3}{5x + 25} + \frac{1}{2x - 10} = \frac{5}{x^2 - 25}$

Решение:

$\frac{3}{5x + 25} + \frac{1}{2x - 10} = \frac{5}{x^2 - 25}$
$\frac{3}{5(x + 5)} + \frac{1}{2(x - 5)} = \frac{5}{(x - 5)(x + 5)}$
$\frac{3 * 2(x - 5) + 5(x + 5)}{10(x - 5)(x + 5)} = \frac{5}{(x - 5)(x + 5)}$
$\frac{6(x - 5) + 5(x + 5)}{10(x - 5)(x + 5)} = \frac{5 * 10}{10(x - 5)(x + 5)}$
$\frac{6x - 30 + 5x + 25}{10(x - 5)(x + 5)} = \frac{50}{10(x - 5)(x + 5)}$
10(x − 5)(x + 5) ≠ 0
(x − 5)(x + 5) ≠ 0
x − 5 ≠ 0
x ≠ 5
и
x + 5 ≠ 0
x ≠ −5
6x − 30 + 5x + 25 = 50
11x − 5 = 50
11x = 50 + 5
11x = 55
x = 5 − не является корнем уравнения
Ответ: нет корней

346. Цену шкафа снизили на 30%, а спустя некоторое время повысили на 30%. Как изменилась, увеличилась или уменьшилась, цена шкафа по сравнению с первоначальной и на сколько процентов?

Решение:

Пусть x − первоначальная цена шкафа, тогда:
1) x − 0,3x = 0,7x − цена шкафа после снижения;
2) 0,7x + 0,7x * 0,3 = 0,7x + 0,21x = 0,91x − цена шкафа после повышения;
3) (x − 0,91x) * 100% = 0,09x * 100% = 9% * x − снижение цены.
Ответ: цена шкафа снизлась на 9%

347. (Задача Сунь−Цзы.) Двое мужчин получили монеты, которые они должны были разделить между собой так, что если бы к монетам, которые получил первый из них, прибавить половину монет второго, или к монетам, которые получил второй, прибавить $\frac{2}{3}$ монет первого, то в обоих случаях было бы 48 монет. Сколько монет получил каждый из мужчин?

Решение:

Пусть:
x − монет получил первый мужчина;
y − монет получил второй мужчина.
Так как, если бы к монетам, которые получил первый из них, прибавить половину монет второго, или к монетам, которые получил второй, прибавить $\frac{2}{3}$ монет первого, то в обоих случаях было бы 48 монет, можно составить систему уравнений:
$\begin{equation*} \begin{cases} x + \frac{1}{2}y = 48 |* (-2) &\\ \frac{2}{3}x + y = 48 |* 3 & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} -2x - y = -96 &\\ 2x + 3y = 144 & \end{cases} \end{equation*}$
−2x − y + 2x + 3y = −96 + 144
2y = 48
y = 24
$x + \frac{1}{2}y = 48$
$x + \frac{1}{2} * 24 = 48$
x + 12 = 48
x = 48 − 12
x = 36
Ответ:
36 монет получил первый мужчина;
24 монеты получил второй мужчина.

348. Если лыжник будет двигаться со скоростью 10 км/ч, то доберется в пункт назначения на 1 ч позже запланированного времени прибытия, а если будет двигаться со скоростью 15 км/ч − то на 1 ч раньше. С какой скоростью он должен двигаться, чтобы прибыть в пункт назначения в запланированное время?

Решение:

Пусть x (ч) − запланированное время движения, тогда:
10(x + 1) (км) − расстояние до пункта назначения;
15(x − 1) (км) − расстояние до пункта назначения.
Так как, и в первом и во втором случае лыжник преодолеет одно и то же расстояние, можно составить уравнение:
10(x + 1) = 15(x − 1)
10x + 10 = 15x − 15
10x − 15x = −15 − 10
−5x = −25
x = 5 (ч) − запланированное время движения, тогда:
10(x + 1) = 10 * (5 + 1) = 10 * 6 = 60 (км) − расстояние до пункта назначения;
60 : 5 = 12 (км/ч) − необходимая скорость движения лыжника, чтобы прибыть в пункт назначения в запланированное время.
Ответ: 12 км/ч

№349. Каждый из трех учеников написал 100 разных слов. После этого слова, которые встретились не менее двух раз, вычеркнули. В результате у одного ученика осталось 45 слов, у второго − 68, а у третьего − 78. Докажите, что по крайней мере одно слово записали все трое.

Решение:

100 − 45 = 55 (слов) − вычеркнули у первого ученика;
100 − 68 = 32 (слова) − вычеркнули у второго ученика;
100 − 78 = 22 (слова) − вычеркнули у третьего ученика.
Вычеркнули слова, которые не менее двух раз встретились, значит вычеркнули слова которые встретились либо 2 раза, либо 3 раза.
Допустим, что все вычеркнутые слова встретились 2 раза, тогда вычеркнутые слова составили бы пары одинаковых слов, а значит общее количество вычеркнутых слов должно быть числом четным.
55 + 32 + 22 = 109 (слов) − вычеркнули всего.
109 − число нечетное, а значит по крайней мере одно слово встретилось 3 раза, то есть было написано каждым из учеников.