Ответы к странице 133

521. Тракторист должен был засеять поле за 8 дней. Однако из−за плохой погоды он засеивал ежедневно на 3 га меньше нормы и поэтому выполнил работу за 10 дней. Какова площадь поля?

Решение:

Пусть x (га) − в день должен был засеивать тракторист;
8x (га) − площадь поля;
x − 3 (га) − в день засеивал тракторист;
10(x − 3) (га) − площадь поля.
Так как площадь поля и при одной и при второй норме работы одинакова, можно составить уравнение:
8x = 10(x − 3)
8x = 10x − 30
8x − 10x = −30
−2x = −30
x = 15 (га) − в день должен был засеивать тракторист;
8x = 8 * 15 = 120 (га) − площадь поля.
Ответ: 120 га

522. Число a − четное, а число b − нечетное. Значением какого из данных выражений обязательно является четное число:
1) (a + b)b;
2) $\frac{ab}{2}$;
3) $\frac{a^2b}{2}$;
4) $\frac{ab^2}{2}$?

Решение:

1)
(a + b)b − нечетное число, так как a + b − нечетное число, как сумма четного и нечетного числа, а произведение двух нечетных чисел является нечетным числом.
2)
$\frac{ab}{2}$ − может быть как четным, так и нечетным числом, так как ab − число четное (произведение четного и нечетного чисел.)
3)
$\frac{a^2b}{2}$ − четное число, так как a и $a^2$ − четные числа, $a^2b$ − четное число, так как является произведением четного и нечетного чисел, при делении четного числа на 2 получится четное число.
4)
$\frac{ab^2}{2}$ − может быть как четным, так и нечетным числом, так как $\frac{a}{2}$ − может быть как четным, так и нечетным числом, $b^2$ − нечетное число.

№523. На доске записаны 102 последовательных натуральных числа. Можно ли разбить их на две группы так, чтобы сумма чисел в каждой группе была простым числом (в каждой группе должно быть не менее двух чисел)?

Решение:

Решение. Пусть n, n + 1, n + 2, …, n + 100, n + 101 − данные 102 последовательных натуральных чисел. Покажем, что сумма этих чисел является числом нечётным. Для этого не обязательно использовать формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии (на этом этапе обучения она ещё не знакома учащимся). Достаточно представить сумму n + (n + 1) + (n + 2) + … + (n + 100) + (n + 101) в виде 51 нечётного слагаемого. Имеем:
n + (n + 1) + (n + 2) + … + (n + 100) + (n + 101) = (n + (n + 1)) + ((n + 2) + n + 3) + … + ((n + +100) + (n + 101)) = (2n + 1) + (2n + 5) + … + (2n + 201). Если предположить, что указанное в условии разбиение на две группы возможно, то сумма чисел в одной из групп является чётным числом, а значит, равна 2. Однако число 2 нельзя представить в виде суммы двух различных натуральных чисел. Получили противоречие.
Ответ: нельзя.