Ответы к странице 136

§17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни

Упражнения

524. Вынесите множитель из−под знака корня:
1) $\sqrt{8}$;
2) $\sqrt{12}$;
3) $\sqrt{32}$;
4) $\sqrt{54}$;
5) $\sqrt{490}$;
6) $\sqrt{500}$;
7) $\sqrt{275}$;
8) $\sqrt{108}$;
9) $\sqrt{0,72}$;
10) $\sqrt{0,48}$;
11) $\sqrt{450}$;
12) $\sqrt{36300}$.

Решение:

1) $\sqrt{8} = \sqrt{4 * 2} = \sqrt{4} * \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

2) $\sqrt{12} = \sqrt{4 * 3} = \sqrt{4} * \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

3) $\sqrt{32} = \sqrt{16 * 2} = \sqrt{16} * \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

4) $\sqrt{54} = \sqrt{9 * 6} = \sqrt{9} * \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

5) $\sqrt{490} = \sqrt{49 * 10} = \sqrt{49} * \sqrt{10} = 7\sqrt{10}$

6) $\sqrt{500} = \sqrt{100 * 5} = \sqrt{100} * \sqrt{5} = 10\sqrt{5}$

7) $\sqrt{275} = \sqrt{25 * 11} = \sqrt{25} * \sqrt{11} = 5\sqrt{11}$

8) $\sqrt{108} = \sqrt{36 * 3} = \sqrt{36} * \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

9) $\sqrt{0,72} = \sqrt{0,36 * 2} = \sqrt{0,36} * \sqrt{2} = 0,6\sqrt{2}$

10) $\sqrt{0,48} = \sqrt{0,16 * 3} = \sqrt{0,16} * \sqrt{3} = 0,4\sqrt{3}$

11) $\sqrt{450} = \sqrt{225 * 2} = \sqrt{225} * \sqrt{2} = 15\sqrt{2}$

12) $\sqrt{36300} = \sqrt{100 * 363} = \sqrt{100 * 121 * 3} = \sqrt{100} * \sqrt{121} * \sqrt{3} = 10 * 11 * \sqrt{3} = 110\sqrt{3}$

525. Упростите выражение:
1) $\frac{2}{3}\sqrt{45}$;
2) $\frac{1}{2}\sqrt{128}$;
3) $\frac{1}{10}\sqrt{200}$;
4) $-0,05\sqrt{4400}$.

Решение:

1) $\frac{2}{3}\sqrt{45} = \frac{2}{3}\sqrt{9 * 5} = \frac{2}{3}\sqrt{9} * \sqrt{5} = \frac{2}{3} * 3 * \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

2) $\frac{1}{2}\sqrt{128} = \frac{1}{2}\sqrt{64 * 2} = \frac{1}{2} * \sqrt{64} * \sqrt{2} = \frac{1}{2} * 8 * \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

3) $\frac{1}{10}\sqrt{200} = \frac{1}{10}\sqrt{100 * 2} = \frac{1}{10} * \sqrt{100} * \sqrt{2} = \frac{1}{10} * 10 * \sqrt{2} = \sqrt{2}$

4) $-0,05\sqrt{4400} = -0,05\sqrt{100 * 44} = -0,05\sqrt{100 * 4 * 11} = -0,05 * \sqrt{100} * \sqrt{4} * \sqrt{11} = -0,05 * 10 * 2 * \sqrt{11} = -0,5 * 2 * \sqrt{11} = -\sqrt{11}$

526. Вынесите множитель из−под знака корня:
1) $\sqrt{27}$;
2) $\sqrt{24}$;
3) $\sqrt{20}$;
4) $\sqrt{125}$;
5) $\frac{1}{8}\sqrt{96}$;
6) $0,4\sqrt{250}$;
7) $-2\sqrt{0,18}$;
8) $\frac{4}{9}\sqrt{63}$;
9) $0,8\sqrt{1250}$;
10) $\frac{3}{7}\sqrt{98}$;
11) $10\sqrt{0,03}$;
12) $0,7\sqrt{1000}$.

Решение:

1) $\sqrt{27} = \sqrt{9 * 3} = \sqrt{9} * \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

2) $\sqrt{24} = \sqrt{4 * 6} = \sqrt{4} * \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$

3) $\sqrt{20} = \sqrt{4 * 5} = \sqrt{4} * \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

4) $\sqrt{125} = \sqrt{25 * 5} = \sqrt{25} * \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

5) $\frac{1}{8}\sqrt{96} = \frac{1}{8}\sqrt{16 * 6} = \frac{1}{8} * \sqrt{16} * \sqrt{6} = \frac{1}{8} * 4 * \sqrt{6} = \frac{1}{2}\sqrt{6}$

6) $0,4\sqrt{250} = 0,4\sqrt{25 * 10} = 0,4 * \sqrt{25} * \sqrt{10} = 0,4 * 5 * \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

7) $-2\sqrt{0,18} = -2\sqrt{0,09 * 2} = -2 * \sqrt{0,09} * \sqrt{2} = -2 * 0,3 * \sqrt{2} = -0,6\sqrt{2}$

8) $\frac{4}{9}\sqrt{63} = \frac{4}{9}\sqrt{9 * 7} = \frac{4}{9} * \sqrt{9} * \sqrt{7} = \frac{4}{9} * 3 * \sqrt{7} = \frac{4}{3}\sqrt{7} = 1\frac{1}{3}\sqrt{7}$

9) $0,8\sqrt{1250} = 0,8\sqrt{625 * 2} = 0,8 * \sqrt{625} * \sqrt{2} = 0,8 * 25 * \sqrt{2} = 20\sqrt{2}$

10) $\frac{3}{7}\sqrt{98} = \frac{3}{7}\sqrt{49 * 2} = \frac{3}{7} * \sqrt{49} * \sqrt{2} = \frac{3}{7} * 7 * \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

11) $10\sqrt{0,03} = 10\sqrt{0,01 * 3} = 10 * \sqrt{0,01} * \sqrt{3} = 10 * 0,1 * \sqrt{3} = \sqrt{3}$

12) $0,7\sqrt{1000} = 0,7\sqrt{100 * 10} = 0,7 * \sqrt{100} * \sqrt{10} = 0,7 * 10 * \sqrt{10} = 7\sqrt{10}$