Ответы к странице 226
918. Решите уравнение:
1) $x^2 - 4x - 32 = 0$;
2) $x^2 - 10x + 21 = 0$;
3) $6x^2 - 5x + 1 = 0$;
4) $8x^2 + 2x - 3 = 0$;
5) $x^2 + 6x - 15 = 0$;
6) $3x^2 - x - 5 = 0$;
7) $4x^2 + 28x + 49 = 0$;
8) $x^2 - 16x + 71 = 0$.
Решение:
1) $x^2 - 4x - 32 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-32) = 16 + 128 = 144 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{144}}{2 * 1} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{144}}{2 * 1} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Ответ: −4 и 8
2) $x^2 - 10x + 21 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 1 * 21 = 100 - 84 = 16 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{16}}{2 * 1} = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Ответ: 3 и 7
3) $6x^2 - 5x + 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 6 * 1 = 25 - 24 = 1 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 * 6} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 * 6} = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$
4) $8x^2 + 2x - 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 8 * (-3) = 4 + 96 = 100 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 * 8} = \frac{-2 + 10}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 * 8} = \frac{-2 - 10}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}$
Ответ: $-\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{2}$
5) $x^2 + 6x - 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 1 * (-15) = 36 + 60 = 96 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{96}}{2 * 1} = \frac{-6 + \sqrt{16 * 6}}{2} = \frac{-6 + 4\sqrt{6}}{2} = \frac{2(-3 + 2\sqrt{6})}{2} = -3 + 2\sqrt{6}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{96}}{2 * 1} = \frac{-6 - \sqrt{16 * 6}}{2} = \frac{-6 - 4\sqrt{6}}{2} = \frac{2(-3 - 2\sqrt{6})}{2} = -3 - 2\sqrt{6}$
Ответ: $-3 - 2\sqrt{6}$ и $-3 + 2\sqrt{6}$
6) $3x^2 - x - 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 3 * (-5) = 1 + 60 = 61 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{61}}{2 * 1} = \frac{1 + \sqrt{61}}{2}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{61}}{2 * 1} = \frac{1 - \sqrt{61}}{2}$
Ответ: $\frac{1 - \sqrt{61}}{2}$ и $\frac{1 + \sqrt{61}}{2}$
7) $4x^2 + 28x + 49 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 * 4 * 49 = 784 - 784 = 0$
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 + \sqrt{0}}{2 * 4} = \frac{-28}{8} = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2}$
Ответ: $-3\frac{1}{2}$
8) $x^2 - 16x + 71 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 * 1 * 71 = 256 - 284 = -28 < 0$
Ответ: нет корней
919. Решите уравнение:
1) (x − 4)(x + 2) − 2(3x + 1)(x − 3) = x(x + 27);
2) $(4x - 3)^2 + (3x - 1)(3x + 1) = 9$;
3) $(x + 4)(x^2 + x - 13) - (x + 7)(x^2 + 2x - 5) = x + 1$;
4) $\frac{2(x^2 - 9)}{5} - \frac{x + 1}{2} = \frac{x - 41}{4}$;
5) $\frac{x^2 + 5x}{3} - \frac{x + 3}{2} = \frac{2x^2 - 2}{8}$.
Решение:
1) (x − 4)(x + 2) − 2(3x + 1)(x − 3) = x(x + 27)
$x^2 - 4x + 2x - 8 - 2(3x^2 + x - 9x - 3) = x^2 + 27x$
$x^2 - 2x - 8 - 6x^2 - 2x + 18x + 6 - x^2 - 27x = 0$
$-6x^2 - 13x - 2 = 0$ | * (−1)
$6x^2 + 13x + 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 * 6 * 2 = 169 - 48 = 121 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + \sqrt{121}}{2 * 6} = \frac{-13 + 11}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - \sqrt{121}}{2 * 6} = \frac{-13 - 11}{12} = \frac{-24}{12} = -2$
Ответ: −2 и $-\frac{1}{6}$
2) $(4x - 3)^2 + (3x - 1)(3x + 1) = 9$
$16x^2 - 24x + 9 + 9x^2 - 1 - 9 = 0$
$25x^2 - 24x - 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 * 25 * (-1) = 576 + 100 = 676 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + \sqrt{676}}{2 * 25} = \frac{24 + 26}{50} = \frac{50}{50} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - \sqrt{676}}{2 * 25} = \frac{24 - 26}{50} = \frac{-2}{50} = -\frac{1}{25}$
Ответ: $-\frac{1}{25}$ и 1
3) $(x + 4)(x^2 + x - 13) - (x + 7)(x^2 + 2x - 5) = x + 1$
$x^3 + x^2 - 13x + 4x^2 + 4x - 52 - (x^3 + 2x^2 - 5x + 7x^2 + 14x - 35) - x - 1 = 0$
$x^3 + 5x^2 - 9x - 52 - x^3 - 2x^2 + 5x - 7x^2 - 14x + 35 - x - 1 = 0$
$-4x^2 - 19x - 18 = 0$ | * (−1)
$4x^2 + 19x + 18 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 19^2 - 4 * 4 * 18 = 361 - 288 = 73 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-19 + \sqrt{73}}{2 * 4} = \frac{-19 + \sqrt{73}}{8}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-19 - \sqrt{73}}{2 * 4} = \frac{-19 - \sqrt{73}}{8}$
Ответ: $\frac{-19 - \sqrt{73}}{8}$ и $\frac{-19 + \sqrt{73}}{8}$
4) $\frac{2(x^2 - 9)}{5} - \frac{x + 1}{2} = \frac{x - 41}{4}$ | * 20
$4 * 2(x^2 - 9) - 10(x + 1) = 5(x - 41)$
$8x^2 - 72 - 10x - 10 = 5x - 205$
$8x^2 - 10x - 82 - 5x + 205 = 0$
$8x^2 - 15x + 123 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 * 8 * 123 = 225 - 3936 = -3711 < 0$
Ответ: нет корней
5) $\frac{x^2 + 5x}{3} - \frac{x + 3}{2} = \frac{2x^2 - 2}{8}$ | * 24
$8(x^2 + 5x) - 12(x + 3) = 3(2x^2 - 2)$
$8x^2 + 40x - 12x - 36 = 6x^2 - 6$
$8x^2 + 28x - 36 - 6x^2 + 6 = 0$
$2x^2 + 28x - 30 = 0$ | : 2
$x^2 + 14x - 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 * 1 * (-15) = 196 + 60 = 256 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{256}}{2 * 1} = \frac{-14 + 16}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - \sqrt{256}}{2 * 1} = \frac{-14 - 16}{2} = \frac{-30}{2} = -15$
Ответ: −15 и 1
920. Для каждого значения a решите уравнение:
1) $x^2+ (5a - 1)x + 4a^2 - a = 0$;
2) $x^2 - (2a + 3)x + 6a = 0$;
3) $a^2x^2 - 10ax + 16 = 0$.
Решение:
1) $x^2+ (5a - 1)x + 4a^2 - a = 0$
$D = b^2 - 4ac = (5a - 1)^2 - 4 * 1 * (4a^2 - a) = 25a^2 - 10a + 1 - 16a^2 + 4a = 9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2 > 0$
если D = 0, то:
3a − 1 = 0
3a = 1
$a = \frac{1}{3}$
т.к. D = 0, то уравнение имеет 1 корень:
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5a + 1 + \sqrt{0}}{2 * 1} = \frac{-5a + 1}{2} = \frac{2(-2,5a + 0,5)}{2} = -2,5a + 0,5 = -2,5 * \frac{1}{3} + 0,5 = -2\frac{1}{2} * \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{2} * \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{6} + \frac{3}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$
если D > 0, то:
3a − 1 > 0
3a > 1
$a > \frac{1}{3}$
т.к. D > 0, то уравнение имеет 2 корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5a + 1 + 3a - 1}{2 * 1} = \frac{-2a}{2} = -a$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5a + 1 - (3a - 1)}{2 * 1} = \frac{-5a + 1 - 3a + 1}{2 * 1} = \frac{-8a + 2}{2} = \frac{2(-4a + 1)}{2} = -4a + 1$
если D < 0, то:
3a − 1 < 0
3a < 1
$a < \frac{1}{3}$
т.к. D < 0, то уравнение не имеет корней.
Ответ:
если $a = \frac{1}{3}$, то: $x = -\frac{1}{3}$;
если $a > \frac{1}{3}$, то: $x_1 = -a$ и $x_2 = -4a + 1$;
если $a < \frac{1}{3}$, то: нет корней.
2) $x^2 - (2a + 3)x + 6a = 0$
$D = b^2 - 4ac = (2a + 3)^2 - 4 * 1 * 6a = 4a^2 + 12a + 9 - 24a = 4a^2 - 12a + 9 = (2a - 3)^2 > 0$
если D = 0, то:
2a − 3 = 0
2a = 3
a = 1,5
т.к. D = 0, то уравнение имеет 1 корень:
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a + 3 + \sqrt{0}}{2 * 1} = \frac{2a + 3}{2} = \frac{2(a + 1,5)}{2} = a + 1,5 = 1,5 + 1,5 = 3$
если D > 0, то:
2a − 3 > 0
2a > 3
a > 1,5
т.к. D > 0, то уравнение имеет 2 корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a + 3 + 2a - 3}{2 * 1} = \frac{4a}{2} = 2a$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2a + 3 - (2a - 3)}{2 * 1} = \frac{2a + 3 - 2a + 3}{2 * 1} = \frac{6}{2} = 3$
если D < 0, то:
2a − 3 < 0
2a < 3
a < 1,5
т.к. D < 0, то уравнение не имеет корней.
Ответ:
если a = 1,5, то: x = 3;
если a > 1,5, то: $x_1 = 2a$ и $x_2 = 3$;
если a < 1,5, то: нет корней.
3) $a^2x^2 - 10ax + 16 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-10a)^2 - 4 * a^2 * 16 = 100a^2 - 64a^2 = 36a^2 > 0$
если D = 0, то:
$36a^2 = 0$
$a^2 = 0$
a = 0
т.к. D = 0, то уравнение имеет 1 корень:
$x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10a + \sqrt{0}}{2 * a^2}$ − нет корней, так как при a = 0, знаменатель равен 0, что невозможно.
если D > 0, то:
$36a^2 > 0$
$a^2 > 0$
a > 0
т.к. D > 0, то уравнение имеет 2 корня:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10a + \sqrt{36a^2}}{2 * a^2} = \frac{10a + 6a}{2a^2} = \frac{16a}{2a^2} = \frac{8}{a}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10a - \sqrt{36a^2}}{2 * a^2} = \frac{10a - 6a}{2a^2} = \frac{4a}{2a^2} = \frac{2}{a}$
если D < 0, то:
$36a^2 < 0$
$a^2 < 0$
a < 0
т.к. D < 0, то уравнение не имеет корней.
Ответ:
если a = 0, то: нет корней;
если a > 0, то: $x_1 = \frac{8}{a}$ и $x_2 = \frac{2}{a}$;
если a < 0, то: нет корней.
921. Решите уравнение:
1) $|x^2 - 2x - 6| = 6$;
2) $x^2 - 6|x| - 16 = 0$;
3) $x|x| + 2x - 15 = 0$;
4) $||x^2 - 6x - 4| - 3| = 1$.
Решение:
1) $|x^2 - 2x - 6| = 6$
а)
$x^2 - 2x - 6 = 6$
$x^2 - 2x - 6 - 6 = 0$
$x^2 - 2x - 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-12) = 4 + 48 = 52 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{52}}{2 * 1} = \frac{2 + \sqrt{4 * 13}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{13}}{2} = \frac{2(1 + \sqrt{13})}{2} = 1 + \sqrt{13}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{52}}{2 * 1} = \frac{2 - \sqrt{4 * 13}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{13}}{2} = \frac{2(1 - \sqrt{13})}{2} = 1 - \sqrt{13}$
б)
$x^2 - 2x - 6 = -6$
$x^2 - 2x - 6 + 6 = 0$
$x^2 - 2x = 0$
x(x − 2) = 0
x = 0
или
x − 2 = 0
x = 2
Ответ: $1 - \sqrt{13}$; $1 + \sqrt{13}$; 0; 2.
2) $x^2 - 6|x| - 16 = 0$
а) x ≥ 0:
$x^2 - 6x - 16 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 1 * (-16) = 36 + 64 = 100 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0.
б) x < 0:
$x^2 + 6x - 16 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 1 * (-16) = 36 + 64 = 100 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ − не удовлетворяет условию, так как x < 0.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2 * 1} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
Ответ: −8 и 8
3) $x|x| + 2x - 15 = 0$
а) x ≥ 0:
$x^2 + 2x - 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 * 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$ − не удовлетворяет условию, так как x ≥ 0.
б) x < 0:
$-x^2 + 2x - 15 = 0$ | * (−1)
$x^2 - 2x + 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * 15 = 4 - 60 = -56 < 0$
нет корней
Ответ: 3
4) $||x^2 - 6x - 4| - 3| = 1$
1 случай
$|x^2 - 6x - 4| - 3 = 1$
$|x^2 - 6x - 4| = 1 + 3$
$|x^2 - 6x - 4| = 4$
а)
$x^2 - 6x - 4 = 4$
$x^2 - 6x - 4 - 4 = 0$
$x^2 - 6x - 8 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 1 * (-8) = 36 + 32 = 68 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{68}}{2 * 1} = \frac{6 + \sqrt{4 * 17}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{17}}{2} = \frac{2(3 + \sqrt{17})}{2} = 3 + \sqrt{17}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{68}}{2 * 1} = \frac{6 - \sqrt{4 * 17}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{17}}{2} = \frac{2(3 - \sqrt{17})}{2} = 3 - \sqrt{17}$
б)
$x^2 - 6x - 4 = -4$
$x^2 - 6x - 4 + 4 = 0$
$x^2 - 6x = 0$
x(x − 6) = 0
x = 0
или
x − 6 = 0
x = 6
2 случай
$|x^2 - 6x - 4| - 3 = -1$
$|x^2 - 6x - 4| = -1 + 3$
$|x^2 - 6x - 4| = 2$
а)
$x^2 - 6x - 4 = 2$
$x^2 - 6x - 4 - 2 = 0$
$x^2 - 6x - 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 1 * (-6) = 36 + 24 = 60 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{68}}{2 * 1} = \frac{6 + \sqrt{4 * 17}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{17}}{2} = \frac{2(3 + \sqrt{17})}{2} = 3 + \sqrt{17}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{68}}{2 * 1} = \frac{6 - \sqrt{4 * 17}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{17}}{2} = \frac{2(3 - \sqrt{17})}{2} = 3 - \sqrt{17}$
б)
$x^2 - 6x - 4 = -2$
$x^2 - 6x - 4 + 2 = 0$
$x^2 - 6x - 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 1 * (-2) = 36 + 8 = 44 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{44}}{2 * 1} = \frac{6 + \sqrt{4 * 11}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{11}}{2} = \frac{2(3 + \sqrt{11})}{2} = 3 + \sqrt{11}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{44}}{2 * 1} = \frac{6 - \sqrt{4 * 11}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{11}}{2} = \frac{2(3 - \sqrt{11})}{2} = 3 - \sqrt{11}$
Ответ: $3 + \sqrt{17}$; $3 - \sqrt{17}$; 0; 6; $3 + \sqrt{15}$; $3 - \sqrt{15}$; $3 + \sqrt{11}$; $3 - \sqrt{11}$.
922. Решите уравнение:
1) $x^2 - 6x + \frac{2}{x - 2} = \frac{2}{x - 2} - 8$;
2) $(\sqrt{x} - 5)(15x^2 - 7x - 2) = 0$;
3) $(x^2 + 6x)(\sqrt{x} - 4)(x^2 - 8x - 48) = 0$.
Решение:
1) $x^2 - 6x + \frac{2}{x - 2} = \frac{2}{x - 2} - 8$
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
$x^2 - 6x + \frac{2}{x - 2} - \frac{2}{x - 2} + 8 = 0$
$x^2 - 6x + 8 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 1 * 8 = 36 + 32 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$ − не является решением уравнения, так как x ≠ 2.
Ответ: 4
2) $(\sqrt{x} - 5)(15x^2 - 7x - 2) = 0$
x ≥ 0
$\sqrt{x} - 5 = 0$
$\sqrt{x} = 5$
$(\sqrt{x})^2 = 5^2$
x = 25
или
$15x^2 - 7x - 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 15 * (-2) = 49 + 120 = 169 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 * 15} = \frac{7 + 13}{30} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 * 15} = \frac{7 - 13}{30} = \frac{-6}{30} = -\frac{1}{5}$ − не является решением уравнения, так как x ≥ 0.
Ответ: $\frac{2}{3}$ и 25
3) $(x^2 + 6x)(\sqrt{x} - 4)(x^2 - 8x - 48) = 0$
x ≥ 0
$x^2 + 6x = 0$
x(x + 6) = 0
x = 0
или
x + 6 = 0
x = −6 − не является решением, так как x ≥ 0.
или
$\sqrt{x} - 4 = 0$
$\sqrt{x} = 4$
$(\sqrt{x})^2 = 4^2$
x = 16
или
$x^2 - 8x - 48 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * (-48) = 64 + 192 = 256 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{256}}{2 * 1} = \frac{8 + 16}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{256}}{2 * 1} = \frac{8 - 16}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ − не является решением уравнения, так как x ≥ 0.
Ответ: 0; 12; 16.
923. Решите уравнение:
1) $\sqrt{x^2 + 3x - 4} + \sqrt{x^2 + 6x + 8} = 0$;
2) $x^2 - 4x + 4 + |x^2 - 3x + 2| = 0$;
3) $\sqrt{25 - x^2} + |x^2 + 8x - 20| = 0$.
Решение:
1) $\sqrt{x^2 + 3x - 4} + \sqrt{x^2 + 6x + 8} = 0$
$\sqrt{x^2 + 3x - 4}$ и $\sqrt{x^2 + 6x + 8} = 0$
а)
$x^2 + 3x - 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
б)
$x^2 + 6x + 8 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Ответ: −4
2) $x^2 - 4x + 4 + |x^2 - 3x + 2| = 0$
$(x - 2)^2 = 0$ и $|x^2 - 3x + 2| = 0$
а)
$(x - 2)^2 = 0$
x − 2 = 0
x = 2
б)
$x^2 - 3x + 2 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 * 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Ответ: 2
3) $\sqrt{25 - x^2} + |x^2 + 8x - 20| = 0$
$\sqrt{25 - x^2} = 0$ и $|x^2 + 8x - 20| = 0$
а)
$25 - x^2 = 0$
(5 − x)(5 + x) = 0
5 − x = 0
x = 5
или
5 + x = 0
x = −5
б)
$x^2 + 8x - 20 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 1 * (-20) = 64 + 80 = 144 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 * 1} = \frac{-8 + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 * 1} = \frac{-8 - 12}{2} = \frac{-20}{2} = -10$
Ответ: нет корней
924. Не вычисляя дискриминант, найдите, при каком значении a уравнение:
1) $x^2 + 22x + a = 0$;
2) $x^2 - ax + 81 = 0$
имеет единственный корень. Найдите этот корень.
Решение:
1) $x^2 + 22x + a = 0$
уравнение имеет один корень, если его можно представить в виде квадрата двучлена, тогда:
$x^2 + 22x + a = x^2 + 2 * x * 11 + a = x^2 + 2 * x * 11 + 121 = (x + 11)^2$
$a = 11^2$
a = 121
Ответ: при a = 121
2) $x^2 - ax + 81 = 0$
уравнение имеет один корень, если его можно представить в виде квадрата двучлена, тогда:
$x^2 - ax + 81 = x^2 - 2 * x * \frac{a}{2} + 9^2 = (x - 9)^2$
$\frac{a}{2} = 9$
a = 9 * 2
a = 18
Ответ: при a = 18
925. При каком значении b корнями уравнения $x^2 + bx - 23 = 0$ являются противоположные числа? Найдите эти корни.
Решение:
$x^2 + bx - 23 = 0$
$x_1 = -x_2$
по теореме Виета:
$x_1x_2 = c = -23$
$-x_2 * x_2 = -23$
$(x_2)^2 = 23$
$x_2 = \sqrt{23}$
$x_1 = -x_2 = -\sqrt{23}$
по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -b$
$-b = -\sqrt{23} + \sqrt{23}$
−b = 0
b = 0
Ответ: при b = 0, $x_1 = -\sqrt{23}$, $x_2 = \sqrt{23}$.
926. Число $-\frac{1}{3}$ является корнем уравнения $12x^2 - bx + 5 = 0$. Найдите значение b и второй корень уравнения.
Решение:
$12x^2 - bx + 5 = 0$
$x_1 = -\frac{1}{3}$
$12x^2 - bx + 5 = 0$ | : 12
$x^2 - \frac{b}{12} + \frac{5}{12} = 0$
по теореме Виета:
$x_1x_2 = c = \frac{5}{12}$
$-\frac{1}{3} * x_2 = \frac{5}{12}$
$x_2 = \frac{5}{12} : (-\frac{1}{3}) = \frac{5}{12} * (-3) = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4}$
по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -b = -(-\frac{b}{12}) = \frac{b}{12}$
$-\frac{1}{3} + (-\frac{5}{4}) = \frac{b}{12}$
$\frac{b}{12} = \frac{5}{12}$
b = 5
Ответ: b = 5, $x_2 = -1\frac{1}{4}$.
927. Число 0,2 является корнем уравнения $8x^2 - 3,2x + k = 0$. Найдите значение k и второй корень уравнения.
Решение:
$8x^2 - 3,2x + k = 0$
$x_1 = 0,2$
$8x^2 - 3,2x + k = 0$ | :8
$x^2- 0,4x + \frac{k}{8} = 0$
по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -b = -(-0,4) = 0,4$
$0,2 + x_2 = 0,4$
$x_2 = 0,4 - 0,2$
$x_2 = 0,2$
по теореме Виета:
$x_1x_2 = c$
$0,2 * 0,2 = \frac{k}{8}$
$0,04 = \frac{k}{8}$
k = 8 * 0,04
k = 0,32
Ответ: k = 0,32, $x_2 = 0,2$.
928. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - bx + 20 = 0$ удовлетворяют условию $x_1 = 5x_2$. Найдите значение b и корни уравнения.
Решение:
$x^2 - bx + 20 = 0$
$x_1 = 5x_2$
по теореме Виета:
$x_1x_2 = c = 20$
$5x_2x_2 = 20$
$x^2_2 = 4$
$x_2 = ±2$
при $x_2 = 2$:
$x_1 = 5 * 2$
$x_1 = 10$
по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -b$
10 + 2 = −(−b)
b = 10 + 2
b = 12
при $x_2 = -2$:
$x_1 = 5 * (-2)$
$x_1 = -10$
по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -b$
−10 − 2 = −(−b)
b = −10 − 2
b = −12
Ответ:
при b = 12: $x_1 = 10$, $x_2 = 2$;
при b = −12: $x_1 = -10$, $x_2 = -2$.
