Ответы к странице 71

279. Упростите выражение:
1) $2a^{-5}b^2 * 3a^{-2}b^{-5}$;
2) $(\frac{1}{2}mn^{-3})^{-2}$;
3) $\frac{3,6a^2b}{0,9a^3b^{-3}}$;
4) $0,8a^{-6}b^8 * 5a^{10}b^{-8}$;
5) $\frac{25x^{-3}}{y^{-4}} * \frac{y^{4}}{5x^{-7}}$;
6) $28c^3d^{-2} * (2cd^{-1})^{-2}$.

Решение:

1) $2a^{-5}b^2 * 3a^{-2}b^{-5} = (2 * 3)a^{-5 - 2}b^{2 - 5} = 6a^{-7}b^{-3}$

2) $(\frac{1}{2}mn^{-3})^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2}m^{-2}n^{-3 * (-2)} = 2^2m^{-2}n^6 = 4m^{-2}n^6$

3) $\frac{3,6a^2b}{0,9a^3b^{-3}} = \frac{4b^{1 - (-3)}}{a} = \frac{4b^{1 + 3}}{a} = \frac{4b^{4}}{a}$

4) $0,8a^{-6}b^8 * 5a^{10}b^{-8} = (0,8 * 5)a^{-6 + 10}b^{8 - 8}= 4a^4b^0 = 4a^4$

5) $\frac{25x^{-3}}{y^{-4}} * \frac{y^{4}}{5x^{-7}} = \frac{25y^4}{x^3} * \frac{x^7y^{4}}{5} = \frac{5y^4}{1} * \frac{x^4y^{4}}{1} = 5x^4y^8$

6) $28c^3d^{-2} * (2cd^{-1})^{-2} = 28c^3d^{-2} * \frac{c^{-2}d^2}{2^2} = \frac{28c^{3 - 2}d^{-2 + 2}}{4} = \frac{7c^{1}d^{0}}{1} = 7c$

280. Найдите значение выражения:
1) $8^{-3} * 2^7$;
2) $27^{-2} : 9^{-4}$;
3) $100^{-2} : 1000^{-5} * 0,01^6$;
4) $(2\frac{1}{4})^{-4} * ((\frac{2}{3})^3)^{-3}$;
5) $25^{-4} : (0,2^{-3})^{-2}$;
6) $\frac{(-36)^{-3} * 6^8}{216^{-5} * (-6)^{18}}$;
7) $\frac{6^{-10}}{81^{-2} * 16^{-3}}$;
8) $\frac{14^5 * 2^{-7}}{28^{-2} * 7^8}$.

Решение:

1) $8^{-3} * 2^7 = (2^3)^{-3} * 2^7 = 2^{-9} * 2^{7} = 2^{-9 + 7} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$

2) $27^{-2} : 9^{-4} = (3^3)^{-2} : (3^2)^{-4} = 3^{-6} : 3^{-8} = 3^{-6 - (-8)} = 3^{-6 + 8} = 3^2 = 9$

3) $100^{-2} : 1000^{-5} * 0,01^6 = (10^2)^{-2} : (10^3)^{-5} * (10^{-2})^6 = 10^{-4} : 10^{-15} * 10^{-12} = 10^{-4 - (-15) - 12} = 10^{-4 + 15 - 12} = 10^{-1} = 0,1$

4) $(2\frac{1}{4})^{-4} * ((\frac{2}{3})^3)^{-3} = (\frac{9}{4})^{-4} * (\frac{2}{3})^{-9} = (\frac{4}{9})^{4} * (\frac{3}{2})^{9} = (\frac{2^2}{3^2})^{4} * (\frac{3}{2})^{9} = \frac{2^8}{3^8} * \frac{3^9}{2^9} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

5) $25^{-4} : (0,2^{-3})^{-2} = \frac{1}{25^4} : ((\frac{1}{5})^{-3})^{-2} = \frac{1}{(5^2)^4} : (\frac{1}{5})^{6} = \frac{1}{5^8} * 5^6 = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

6) $\frac{(-36)^{-3} * 6^8}{216^{-5} * (-6)^{18}} = \frac{(-6^2)^{-3} * 6^8}{(6^3)^{-5} * (-6)^{18}} = \frac{(-6)^{-6} * 6^8}{6^{-15} * (-6)^{18}} = \frac{6^{-6} * 6^8}{6^{-15} * 6^{18}} = \frac{6^2}{6^3} = \frac{1}{6}$

7) $\frac{6^{-10}}{81^{-2} * 16^{-3}} = \frac{81^{2} * 16^{3}}{6^{10}} = \frac{(3^4)^{2} * (2^4)^{3}}{(2 * 3)^{10}} = \frac{3^8 * 2^{12}}{2^{10} * 3^{10}} = \frac{2^{2}}{3^{2}} = \frac{4}{9}$

8) $\frac{14^5 * 2^{-7}}{28^{-2} * 7^8} = \frac{14^5 * 28^{2}}{2^{7} * 7^8} = \frac{(2 * 7)^5 * (2^2 * 7)^{2}}{2^{7} * 7^8} = \frac{2^5 * 7^5 * 2^4 * 7^{2}}{2^{7} * 7^8} = \frac{2^9 * 7^7}{2^{7} * 7^8} = \frac{2^2}{7} = \frac{4}{7}$

281. Найдите значение выражения:
1) $9^{-4} * 27^2$;
2) $32^{-5} : 64^{-4}$;
3) $(2\frac{7}{9})^{-7} * ((\frac{3}{5})^{-3})^{5}$;
4) $8^{-2} : 0,5^4$;
5) $\frac{22^6 * 2^{-8}}{44^{-3} * 11^9}$;
6) $\frac{10^{-2} * 15^{-4}}{30^{-6}}$.

Решение:

1) $9^{-4} * 27^2 = (3^2)^{-4} * (3^3)^2 = 3^{-8} * 3^6 = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

2) $32^{-5} : 64^{-4} = (2^5)^{-5} : (2^6)^{-4} = 2^{-25} : 2^{-24} = 2^{-25 - (-24)} = 2^{-25 + 24} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

3) $(2\frac{7}{9})^{-7} * ((\frac{3}{5})^{-3})^{5} = (\frac{25}{9})^{-7} * (\frac{3}{5})^{-15} = (\frac{9}{25})^{7} * (\frac{5}{3})^{15} = (\frac{3^2}{5^2})^{7} * \frac{5^{15}}{3^{15}} = \frac{3^{14}}{5^{14}} * \frac{5^{15}}{3^{15}} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

4) $8^{-2} : 0,5^4 = (2^3)^{-2} : (2^{-1})^4 = 2^{-6} : 2^{-4} = 2^{-6 - (-4)} = 2^{-6 + 4} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

5) $\frac{22^6 * 2^{-8}}{44^{-3} * 11^9} = \frac{22^6 * 44^{3}}{2^{8} * 11^9} = \frac{(2 * 11)^6 * (2^2 * 11)^{3}}{2^{8} * 11^9} = \frac{2^6 * 11^6 * (2^2)^3 * 11^{3}}{2^{8} * 11^9} = \frac{2^6 * 2^6 * 11^{9}}{2^{8} * 11^9} = \frac{2^{12}}{2^{8}} = 2^4 = 16$

6) $\frac{10^{-2} * 15^{-4}}{30^{-6}} = \frac{30^{6}}{10^{2} * 15^{4}} = \frac{(2 * 3 * 5)^{6}}{(2 * 5)^{2} * (3 * 5)^{4}} = \frac{2^6 * 3^6 * 5^{6}}{2^2 * 5^{2} * 3^4 * 5^{4}} = \frac{2^4 * 3^2}{1} = 16 * 9 = 144$

282. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:
1) $-2,4a^{-4}b^3 * (-2a^{-3}c^{-5})^{-3}$;
2) $(-10x^{-2}yz^{-8})^{-2} * (0,1yz^{-4})^{-2}$;
3) $1\frac{7}{9}m^{-6}n * (1\frac{1}{3}m^{-1}n^{-4})^{-3}$;
4) $(-\frac{1}{6}a^{-3}b^{-6})^{-3} * (-6a^2b^9)^{-2}$;
5) $(\frac{7p^{-3}}{5k^{-1}})^{-2} * 49m^{-6}n^4$;
6) $(\frac{4x^{-5}}{3y^{-2}})^{-3} * (16x^{-6}y^4)^2$.

Решение:

1) $-2,4a^{-4}b^3 * (-2a^{-3}c^{-5})^{-3} = -2,4a^{-4}b^3 * (-\frac{a^9c^{15}}{8}) = 0,3a^5b^3c^{15}$

2) $(-10x^{-2}yz^{-8})^{-2} * (0,1yz^{-4})^{-2} = 0,01x^4y^{-2}z^{16} * 100y^{-2}z^8 = x^4y^{-4}z^{24} = \frac{x^4z^{24}}{y^{4}}$

3) $1\frac{7}{9}m^{-6}n * (1\frac{1}{3}m^{-1}n^{-4})^{-3} = \frac{16}{9}m^{-6}n * (\frac{4}{3}m^{-1}n^{-4})^{-3} = \frac{2^4}{3^2}m^{-6}n * (\frac{2^2}{3}m^{-1}n^{-4})^{-3} = \frac{2^4}{3^2}m^{-6}n * \frac{3^{3}}{(2^2)^{3}}m^{3}n^{12} = \frac{2^4}{3^2}m^{-6}n * \frac{3^3}{2^{6}}m^{3}n^{12} = \frac{3}{2^{2}}m^{-3}n^{13} = \frac{3n^{13}}{4m^{3}}$

4) $(-\frac{1}{6}a^{-3}b^{-6})^{-3} * (-6a^2b^9)^{-2}= -6^3a^9b^{18} * 6^{-2}a^{-4}b^{-18} = -6a^5$

5) $(\frac{7p^{-3}}{5k^{-1}})^{-2} * 49m^{-6}n^4 = (\frac{5k^{-1}}{7p^{-3}})^{2} * 7^2m^{-6}n^4 = \frac{5^2k^{-2}}{7^2p^{-6}} * 7^2m^{-6}n^4 = \frac{5^2p^{6}}{7^2k^{2}} * 7^2m^{-6}n^4 = \frac{25n^4p^{6}}{k^{2}m^{6}}$

6) $(\frac{4x^{-5}}{3y^{-2}})^{-3} * (16x^{-6}y^4)^2 = \frac{(2^2)^{-3}x^{15}}{3^{-3}y^{6}} * (2^4)^2x^{-12}y^8 = \frac{2^{-6}x^{15}}{3^{-3}y^{6}} * 2^8x^{-12}y^8 = \frac{3^{3}x^{15}}{2^{6}y^{6}} * 2^8x^{-12}y^8 = \frac{3^{3}x^{3}}{1} * 2^2y^2 = 27 * 4x^3y^2 = 108x^3y^2$

283. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:
1) $3,6a^{-8}b^4 * (-3a^{-3}b^{-7})^{-2}$;
2) $1\frac{9}{16}x^{-6}y^2 * (1\frac{1}{4}x^{-1}y^{-3})^{-3}$;
3) $(\frac{5m^{-4}}{6n^{-1}})^{-3} * 125m^{-10}n^{2}$;
4) $(\frac{7a^{-6}}{b^5})^{-2} * (a^{-4}b)^4$.

Решение:

1) $3,6a^{-8}b^4 * (-3a^{-3}b^{-7})^{-2} = 3,6a^{-8}b^4 * \frac{1}{9}a^{6}b^{14} = 0,4a^{-2}b^{18} = \frac{2b^{18}}{5a^2}$

2) $1\frac{9}{16}x^{-6}y^2 * (1\frac{1}{4}x^{-1}y^{-3})^{-3} = \frac{25}{16}x^{-6}y^2 * (\frac{5}{4}x^{-1}y^{-3})^{-3} = \frac{5^2}{2^4}x^{-6}y^2 * \frac{4^3}{5^3}x^3y^9 = \frac{5^2}{2^4}x^{-3}y^{11} * \frac{(2^2)^3}{5^3} = \frac{1}{2^4}x^{-3}y^{11} * \frac{2^6}{5} = \frac{2^2y^{11}}{5x^3} = \frac{4y^{11}}{5x^3}$

3) $(\frac{5m^{-4}}{6n^{-1}})^{-3} * 125m^{-10}n^{2} = \frac{5^{-3}m^{12}}{6^{-3}n^{3}} * 5^3m^{-10}n^{2} = \frac{6^{3}m^{12}}{5^{3}n^{3}} * 5^3m^{-10}n^{2} = \frac{6^{3}m^{2}}{n} = \frac{216m^{2}}{n}$

4) $(\frac{7a^{-6}}{b^5})^{-2} * (a^{-4}b)^4 = \frac{7^{-2}a^{12}}{b^{-10}} * a^{-16}b^4 = \frac{a^{12}b^{10}}{7^2} * a^{-16}b^4 = \frac{a^{-4}b^{14}}{49} = \frac{b^{14}}{49a^4}$

284. Вынесите за скобки степень с основанием a и наименьшим из данных показателей:
1) $a^3 - 2a^4$;
2) $a^{-3} - 2a^{-4}$;
3) $a^3 - 2a^{-4}$.

Решение:

1) $a^3 - 2a^4 = a^3 * 1 - a^3 * 2a = a^3(1 - 2a)$

2) $a^{-3} - 2a^{-4} = a^{-4} * a - a^{-4} * 2 = a^{-4}(a - 2)$

3) $a^3 - 2a^{-4} = a^{-4} * a^7 - a^{-4} * 2 = a^{-4}(a^7 - 2)$