Ответы к странице 201

815. Междугородный автобус должен был проехать 72 км. После того как он проехал 24 км, его задержали на железнодорожном переезде на 12 мин. Потом он увеличил скорость на 12 км/ч и прибыл в пункт назначения с опозданием на 4 мин. Найдите первоначальную скорость автобуса.

Решение:

Пусть x (км/ч) − первоначальная скорость автобуса, тогда:
x + 12 (км/ч) − увеличенная скорость автобуса;
$\frac{24}{x}$ (ч) − ехал автобус до остановки;
$\frac{72 - 24}{x + 12} = \frac{48}{x + 12}$ (ч) − ехал автобус после остановки;
$\frac{72}{x}$ (ч) − должен был находится в пути автобус;
12 мин = $\frac{12}{60}$ (ч) = $\frac{1}{5}$ (ч);
4 мин = $\frac{4}{60}$ (ч) = $\frac{1}{15}$ (ч).
Так как, в пути автобус был на 4 минуты больше запланированного времени, можно составить уравнение:
$(\frac{24}{x} + \frac{48}{x + 12} + \frac{1}{5}) - \frac{72}{x} = \frac{1}{15}$
$\frac{48}{x + 12} - \frac{48}{x} + \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$
x + 12 ≠ 0
x ≠ −12
и
x ≠ 0
$\frac{48}{x + 12} - \frac{48}{x} + \frac{1}{5} - \frac{1}{15} = 0$
$\frac{48}{x + 12} - \frac{48}{x} + \frac{3}{15} - \frac{1}{15} = 0$
$\frac{48}{x + 12} - \frac{48}{x} + \frac{2}{15} = 0$ | * 15x(x + 12)
$48 * 15x - 48 * 15(x + 12) + 2x(x + 12) = 0$
$720x - 720x - 8640 + 2x^2 + 24x = 0$
$2x^2 + 24x - 8640 = 0$ | : 2
$x^2 + 12x - 4320 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 * 1 * (-4320) = 144 + 17280 = 17424 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + \sqrt{17424}}{2 * 1} = \frac{-12 + 132}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - \sqrt{17424}}{2 * 1} = \frac{-12 - 132}{2} = \frac{-144}{2} = -72$ − не является решением, так как скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 60 (км/ч) − первоначальная скорость автобуса.
Ответ: 60 км/ч

816. Группа школьников выехала на экскурсию из города A в город B на автобусе, а вернулись в город A по железной дороге, затратив на обратный путь на 30 мин больше, чем на путь в город B. Найдите скорость поезда, если она на 20 км/ч меньше скорости автобуса, длина шоссе между городами A и B составляет 160 км, а длина железной дороги − 150 км.

Решение:

Пусть x (км/ч) − скорость поезда, тогда:
x + 20 (км/ч) − скорость автобуса;
$\frac{160}{x + 20}$ (ч) − ехали школьники на автобусе;
$\frac{150}{x}$ (ч) − ехали школьники на поезде;
30 мин = $\frac{30}{60}$ (ч) = $\frac{1}{2}$ (ч).
Так как, на обратный путь школьники затратили на 30 минут больше, можно составить уравнение:
$\frac{150}{x} - \frac{160}{x + 20} = \frac{1}{2}$
x ≠ 0
и
x + 20 ≠ 0
x ≠ −20
$\frac{150}{x} - \frac{160}{x + 20} = \frac{1}{2}$ | * 2x(x + 20)
$300(x + 20) - 320x = x(x + 20)$
$300x + 6000 - 320x = x^2 + 20x$
$-x^2 - 20x - 20x + 6000 = 0$
$-x^2 - 40x + 6000 = 0$ | * (−1)
$x^2 + 40x - 6000 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 40^2 - 4 * 1 * (-6000) = 1600 + 24000 = 25600 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 + \sqrt{25600}}{2 * 1} = \frac{-40 + 160}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 - \sqrt{25600}}{2 * 1} = \frac{-40 - 160}{2} = \frac{-200}{2} = -100$ − не является решением, так как скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 60 (км/ч) − скорость поезда.
Ответ: 60 км/ч

817. Турист проплыл на байдарке 4 км по озеру и 5 км по течению реки за то же время, за которое он проплыл бы 6 км против течения. С какой скоростью турист плыл по озеру, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

Решение:

Пусть x (км/ч) − скорость по озеру, тогда:
x + 2 (км/ч) − скорость по течению реки;
x − 2 (км/ч) − скорость против течения;
$\frac{4}{x}$ (ч) − плыл турист по озеру;
$\frac{5}{x + 2}$ (ч) − плыл турист по течению;
$\frac{6}{x - 2}$ (ч) − плыл бы турист против течения.
Так как, турист проплыл 4 км по озеру и 5 км по течению реки за то же время, за которое он проплыл бы 6 км против течения, можно составить уравнение:
$\frac{4}{x} + \frac{5}{x + 2} = \frac{6}{x - 2}$
x ≠ 0
и
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
и
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
$\frac{4}{x} + \frac{5}{x + 2} - \frac{6}{x - 2} = 0$ | * x(x − 2)(x + 2)
$4(x^2 - 4) + 5x(x - 2) - 6x(x + 2) = 0$
$4x^2 - 16 + 5x^2 - 10x - 6x^2 - 12x = 0$
$3x^2 - 22x - 16 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 * 3 * (-16) = 484 + 192 = 676 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + \sqrt{676}}{2 * 3} = \frac{22 + 26}{6} = \frac{48}{6} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - \sqrt{676}}{2 * 3} = \frac{22 - 26}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$ − не является решением, так как скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 8 (км/ч) − скорость по озеру.
Ответ: 8 км/ч

818. Теплоход прошел 16 км по озеру, а затем 18 км по реке, берущей начало из этого озера, за 1 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 4 км/ч.

Решение:

Пусть x (км/ч) − скорость теплохода в стоячей воде, тогда:
x + 4 (км/ч) − скорость теплохода по реке (река берет начало в озере, значит теплоход шел по течению);
$\frac{16}{x}$ (ч) − шел теплоход по озеру;
$\frac{18}{x + 4}$ (ч) − шел теплоход по реке.
Так как, на весь путь теплоход затратил 1, можно составить уравнение:
$\frac{16}{x} + \frac{18}{x + 4} = 1$
x ≠ 0
и
x + 4 ≠ 0
x ≠ −4
$\frac{16}{x} + \frac{18}{x + 4} = 1$ | * x(x + 4)
$16(x + 4) + 18x = x(x + 4)$
$16x + 64 + 18x = x^2 + 4x$
$34x + 64 = x^2 + 4x$
$-x^2 + 34x - 4x + 64 = 0$
$-x^2 + 30x + 64 = 0$ | * (−1)
$x^2 - 30x - 64 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 * 1 * (-64) = 900 + 256 = 1156 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{30 + \sqrt{1156}}{2 * 1} = \frac{30 + 34}{2} = \frac{64}{2} = 32$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{30 - \sqrt{1156}}{2 * 1} = \frac{30 - 34}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ − не является решением, так как скорость не может быть отрицательной, тогда:
x = 32 (км/ч) − скорость теплохода в стоячей воде.
Ответ: 32 км/ч

819. Знаменатель обыкновенной дроби на 3 больше ее числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 4, а знаменатель − на 8, то полученная дробь будет на $\frac{1}{6}$ больше исходной. Найдите исходную дробь.

Решение:

Пусть x − числитель дроби, тогда:
x + 3 − знаменатель дроби;
$\frac{x}{x + 3}$ − исходная дробь;
$\frac{x + 4}{x + 3 + 8} = \frac{x + 4}{x + 11}$ − полученная дробь.
Так как, полученная дробь на $\frac{1}{6}$ больше исходной, можно составить уравнение:
$\frac{x + 4}{x + 11} - \frac{x}{x + 3} = \frac{1}{6}$
x + 11 ≠ 0
x ≠ −11
и
x + 3 ≠ 0
x ≠ −3
$\frac{x + 4}{x + 11} - \frac{x}{x + 3} = \frac{1}{6}$ | * 6(x + 11)(x + 3)
$6(x + 3)(x + 4) - 6x(x + 11) = (x + 11)(x + 3)$
$6(x^2 + 3x + 4x + 12) - 6x^2 - 66x = x^2 + 11x + 3x + 33$
$6(x^2 + 7x + 12) - 6x^2 - 66x - x^2 - 11x - 3x - 33 = 0$
$6x^2 + 42x + 72 - 7x^2 - 80x - 33 = 0$
$-x^2 - 38x + 39 = 0$ | * (−1)
$x^2 + 38x - 39 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 38^2 - 4 * 1 * (-39) = 1444 + 156 = 1600 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-38 + \sqrt{1600}}{2 * 1} = \frac{-38 + 40}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-38 - \sqrt{1600}}{2 * 1} = \frac{-38 - 40}{2} = \frac{-78}{2} = -39$ − не является решением, так как числитель обыкновенной дроби должен быть натуральным числом, тогда:
$\frac{x}{x + 3} = \frac{1}{1 + 3} = \frac{1}{4}$ − исходная дробь.
Ответ: $\frac{1}{4}$

820. Числитель обыкновенной дроби на 5 меньше ее знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 3, а знаменатель увеличить на 4, то полученная дробь будет на $\frac{1}{3}$ меньше исходной. Найдите исходную дробь.

Решение:

Пусть x − числитель дроби, тогда:
x + 5 − знаменатель дроби;
$\frac{x}{x + 5}$ − исходная дробь;
$\frac{x - 3}{x + 5 + 4} = \frac{x - 3}{x + 9}$ − полученная дробь.
Так как, полученная дробь на $\frac{1}{3}$ меньше исходной, можно составить уравнение:
$\frac{x}{x + 5} - \frac{x - 3}{x + 9} = \frac{1}{3}$
x + 5 ≠ 0
x ≠ −5
и
x + 9 ≠ 0
x ≠ −9
$\frac{x}{x + 5} - \frac{x - 3}{x + 9} = \frac{1}{3}$ | * 3(x + 5)(x + 9)
$3x(x + 9) - 3(x - 3)(x + 5) = (x + 5)(x + 9)$
$3x^2 + 27x - 3(x^2 - 3x + 5x - 15) = x^2 + 5x + 9x + 45$
$3x^2 + 27x - 3(x^2 + 2x - 15) = x^2 + 14x + 45$
$3x^2 + 27x - 3x^2 - 6x + 45 - x^2 - 14x - 45 = 0$
$-x^2 + 7x = 0$ | * (−1)
$x^2 - 7x = 0$
x(x − 7) = 0
x = 0 − не является решением, так как числитель обыкновенной дроби должен быть натуральным числом.
или
x − 7 = 0
x = 7 − числитель дроби, тогда:
$\frac{x}{x + 5} = \frac{7}{7 + 5} = \frac{7}{12}$ − исходная дробь.
Ответ: $\frac{7}{12}$

821. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 20 дней. За сколько дней может выполнить это задание каждый из них, работая самостоятельно, если одному из них нужно для этого на 9 дней больше, чем другому?

Решение:

Пусть x (дней) − выполняет задание первый рабочий, тогда;
x + 9 (дней) − выполняет задание второй рабочий;
$\frac{20}{x}$ − часть задания, которое выполнит первый рабочий за 20 дней;
$\frac{20}{x + 9}$ − часть задания, которое выполнит второй рабочий за 20 дней.
Если принять все задание за единицу, можно составить уравнение:
$\frac{20}{x} + \frac{20}{x + 9} = 1$
x ≠ 0
и
x + 9 ≠ 0
x ≠ −9
$\frac{20}{x} + \frac{20}{x + 9} = 1$ | * x(x + 9)
20(x + 9) + 20x = x(x + 9)
$20x + 180 + 20x = x^2 + 9x$
$40x + 180 - x^2 - 9x = 0$
$-x^2 + 31x + 180 = 0$ | * (−1)
$x^2 - 31x - 180 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 * 1 * (-180) = 961 + 720 = 1681 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 + \sqrt{1681}}{2 * 1} = \frac{31 + 41}{2} = \frac{72}{2} = 36$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 - \sqrt{1681}}{2 * 1} = \frac{31 - 41}{2} = \frac{-10}{2} = -5$ − не является решением, так как количество дней не может быть отрицательным числом, тогда:
x = 36 (дней) − будет выполнять задание первый рабочий, значит:
x + 9 = 36 + 9 = 45 (дней) − будет выполнять задание второй рабочий.
Ответ: 36 дней и 45 дней

822. Одному маляру требуется на 5 ч больше, чем другому, чтобы покрасить фасад дома. Когда первый маляр проработал 3 ч, а потом его сменил второй маляр, проработавший 2 ч, то оказалось, что покрашено 40% фасада. За какое время может покрасить фасад каждый маляр, работая самостоятельно?

Решение:

Пусть x (ч) − требуется первому маляру для покраски фасада, тогда:
x − 5 (ч) − требуется второму маляру для покраски фасада;
$\frac{3}{x}$ (фасада) − покрасил первый маляр за 3 часа;
$\frac{2}{x - 5}$ (фасада) − покрасил второй маляр за 2 часа.
Если принять весь фасад за единицу, можно составить уравнение:
$\frac{3}{x} + \frac{2}{x - 5} = 1 * 0,4$
$\frac{3}{x} + \frac{2}{x - 5} = 0,4$
x ≠ 0
и
x − 5 ≠ 0
x ≠ 5
$\frac{3}{x} + \frac{2}{x - 5} = 0,4$ | * 10x(x − 5)
30(x − 5) + 20x = 4x(x − 5)
$30x - 150 + 20x = 4x^2 - 20x$
$50x - 150 - 4x^2 + 20x = 0$
$-4x^2 + 70x - 150 = 0$ | : (−2)
$2x^2 - 35x + 75 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 * 2 * 75 = 1225 - 600 = 625 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 + \sqrt{625}}{2 * 2} = \frac{35 + 25}{4} = \frac{60}{4} = 15$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 - \sqrt{625}}{2 * 2} = \frac{35 - 25}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$ − не является решением, так как x − 5 = 2,5 − 5 = −2,5 (ч) − требуется второму маляру для покраски фасада, что недопустимо, тогда:
x = 15 (ч) − требуется первому маляру для покраски фасада, тогда:
x − 5 = 15 − 5 = 10 (ч) − требуется второму маляру для покраски фасада.
Ответ: 15 ч и 10 ч

823. В первый день тракторист пахал поле 6 ч. На следующий день к нему присоединился второй тракторист, и через 8 ч совместной работы они закончили вспашку. За какое время может вспахать это поле каждый тракторист, работая самостоятельно, если первому для этого надо на 3 ч меньше, чем второму?

Решение:

Пусть x (ч) − требуется первому трактористу для вспашки поля, тогда:
x + 3 (ч) − требуется второму трактористу для вспашки поля;
$\frac{6}{x}$ (часть) − поля вспахал первый тракторист в первый день;
$\frac{8}{x}$ (часть) − поля вспахал первый тракторист во второй день;
$\frac{6}{x} + \frac{8}{x} = \frac{14}{x}$ (часть) − поля вспахал первый тракторист за два дня;
$\frac{8}{x + 3}$ (поля) − вспахал второй тракторист во второй день.
Если принять все поле за единицу и учесть, что за два дня трактористы вспахали поле полностью, можно составить уравнение:
$\frac{14}{x} + \frac{8}{x + 3} = 1$
x ≠ 0
и
x + 3 ≠ 0
x ≠ −3
$\frac{14}{x} + \frac{8}{x + 3} = 1$ | * x(x + 3)
$14(x + 3) + 8x = x(x + 3)$
$14x + 42 + 8x = x^2 + 3x$
$22x + 42 - x^2 - 3x = 0$
$-x^2 + 19x + 42 = 0$ | * (−1)
$x^2 - 19x - 42 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 * 1 * (-42) = 361 + 168 = 529 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + \sqrt{529}}{2 * 1} = \frac{19 + 23}{2} = \frac{42}{2} = 21$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - \sqrt{529}}{2 * 1} = \frac{19 - 23}{2} = \frac{-4}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ − не является решением, так как время вспашки не может быть отрицательным, тогда:
x = 21 (ч) − требуется первому трактористу для вспашки поля, значит:
x + 3 = 21 + 3 = 24 (ч) − требуется второму трактористу для вспашки поля.
Ответ: 21 ч и 24 ч