Ответы к странице 64

247. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:
1) 45000;
2) 260;
3) 0,00024;
4) 0,032;
5) $0,059 * 10^8$;
6) $526 * 10^4$.

Решение:

1) $45000 = 4,5 * 10000 = 4,5 * 10^4$
4 − порядок числа

2) $260 = 2,6 * 100 = 2,6 * 10^2$
2 − порядок числа

3) $0,00024 = 2,4 : 10000 = 2,4 * \frac{1}{10000} = 2,4 * \frac{1}{10^4} = 2,4 * 10^{-4}$
−4 − порядок числа

4) $0,032 = 3,2 : 100 = 3,2 * \frac{1}{100} = 3,2 * \frac{1}{10^2} = 3,2 * 10^{-2}$
−2 − порядок числа

5) $0,059 * 10^8 = 5,9 : 100 * 100000000 = 5,9 * \frac{1}{100} * 100000000 = 5,9 * 1000000 = 5,9 * 10^6$
6 − порядок числа

6) $526 * 10^4 = 5,26 * 100 * 10000 = 5,26 * 1000000 = 5,26 * 10^6$
6 − порядок числа

248. Запишите значение выражения в виде натурального числа или десятичной дроби:
1) $1,6 * 10^3$;
2) $5,7 * 10^6$;
3) $2,1 * 10^{-2}$;
4) $1,1 * 10^{-5}$.

Решение:

1) $1,6 * 10^3 = 1,6 * 1000 = 1600$

2) $5,7 * 10^6 = 5,7 * 1000000 = 5700000$

3) $2,1 * 10^{-2} = 2,1 * \frac{1}{10^2} = 2,1 : 100 = 0,021$

4) $1,1 * 10^{-5} = 1,1 * \frac{1}{10^5} = 1,1 : 100000 = 0,000011$

249. Запишите значение выражения в виде натурального числа или десятичной дроби:
1) $2,4 * 10^2$;
2) $4,8 * 10^5$;
3) $1,4 * 10^{-3}$;
4) $8,6 * 10^{-4}$.

Решение:

1) $2,4 * 10^2 = 2,4 * 100 = 240$

2) $4,8 * 10^5 = 4,8 * 100000 = 480000$

3) $1,4 * 10^{-3} = 1,4 * \frac{1}{10^3} = 1,4 : 1000 = 0,0014$

4) $8,6 * 10^{-4} = 8,6 * \frac{1}{10^4} = 8,6 : 10000 = 0,00086$

250. Докажите, что $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$

Решение:

$(\frac{a}{b})^{-n} = \frac{a^{-n}}{b^{-n}} = \frac{\frac{1}{a^n}}{\frac{1}{b^n}} = \frac{1}{a^n} * \frac{b^n}{1} = \frac{b^n}{a^n} = (\frac{b}{a})^n$

251. Найдите значение выражения:
1) $(-\frac{1}{3})^{-1} * 10^{-1} + 9^0 - (-2)^3 + (\frac{2}{9})^{-2} * (-1,5)^{-3}$;
2) $(2,5)^{-2} - (8^5)^0 + (1\frac{2}{3})^{-3} + 0,1^{-1}$.

Решение:

1) $(-\frac{1}{3})^{-1} * 10^{-1} + 9^0 - (-2)^3 + (\frac{2}{9})^{-2} * (-1,5)^{-3} = -3 * \frac{1}{10} + 1 - (-8) + (\frac{9}{2})^2 * (-\frac{3}{2})^{-3} = -\frac{3}{10} + 1 + 8 + \frac{81}{4} * (-\frac{2}{3})^{3} = -\frac{3}{10} + 9 + \frac{81}{4} * (-\frac{8}{27}) = -\frac{3}{10} + 8\frac{10}{10} + \frac{3}{1} * (-\frac{2}{1}) = 8\frac{7}{10} - 6 = 2\frac{7}{10}$

2) $(2,5)^{-2} - (8^5)^0 + (1\frac{2}{3})^{-3} + 0,1^{-1} = (\frac{5}{2})^{-2} - 1 + (\frac{5}{3})^{-3} + (\frac{1}{10})^{-1} = (\frac{2}{5})^{2} - 1 + (\frac{3}{5})^{3} + 10 = \frac{4}{25} - 1 + \frac{27}{125} + 10 = \frac{20}{125} - 1 + \frac{27}{125} + 10 = 9\frac{47}{125}$

252. Расположите в порядке убывания:
1) $(\frac{1}{2})^3, (\frac{1}{2})^0, (\frac{1}{2})^{-1}, (\frac{1}{2})^{-2}$;
2) $4^{-1}, 4^3, 4^0, 4^{-2}$.

Решение:

1) $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$
$(\frac{1}{2})^0 = 1$
$(\frac{1}{2})^{-1} = 2$
$(\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$
$4 > 2 > 1 > \frac{1}{8}$
Ответ:
$(\frac{1}{2})^{-2} > (\frac{1}{2})^{-1} > (\frac{1}{2})^0 > (\frac{1}{2})^3$

2) $4^{-1} = \frac{1}{4}$
$4^3 = 64$
$4^0 = 1$
$4^{-2} = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$
$64 > 1 > \frac{1}{4} > \frac{1}{16}$
Ответ:
$4^3 > 4^0 > 4^{-1} > 4^{-2}$

253. Расположите в порядке возрастания:
1) $7^{-2}, 7^2, 7^{-1}, 7^{0}$;
2) $(\frac{1}{3})^2, (\frac{1}{3})^{-3}, (\frac{1}{3})^{0}, (\frac{1}{3})^{-1}$.

Решение:

1) $7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$
$7^2 = 49$
$7^{-1} = \frac{1}{7}$
$7^{0} = 1$
$\frac{1}{49} < \frac{1}{7} < 1 < 49$
Ответ:
$7^{-2} < 7^{-1} < 7^{0} < 7^2$

2) $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$
$(\frac{1}{3})^{-3} = 3^3 = 27$
$(\frac{1}{3})^{0} = 1$
$(\frac{1}{3})^{-1} = 3$
$\frac{1}{9} < 1 < 3 < 27$
Ответ:
$(\frac{1}{3})^2 < (\frac{1}{3})^{0} < (\frac{1}{3})^{-1} < (\frac{1}{3})^{-3}$

254. Сравните значения выражений:
1) $12^{0}$ и $(-6)^{0}$;
2) $0,2^{3}$ и $0,2^{-3}$;
3) $4^{6}$ и $0,25^{-6}$;
4) $3^{-1} * 7^{-1}$ и $21^{-1}$;
5) $5^{-1} - 7^{-1}$ и $2^{-1}$;
6) $(\frac{1}{3})^{-1} + (\frac{1}{2})^{-1}$ и $(\frac{1}{3} + \frac{1}{2})^{-1}$.

Решение:

1) $12^{0}$ и $(-6)^{0}$
$12^{0} = 1$
$(-6)^{0} = 1$
1 = 1
Ответ:
$12^{0} = (-6)^{0}$

2) $0,2^{3}$ и $0,2^{-3}$
$0,2^{3}= (\frac{1}{5})^3 = \frac{1}{125}$
$0,2^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125$
$\frac{1}{125} < 125$
Ответ:
$0,2^{3} < 0,2^{-3}$

3) $4^{6}$ и $0,25^{-6}$
$4^{6}$
$0,25^{-6} = (\frac{25}{100})^{-6} = (\frac{1}{4})^{-6} = 4^6$
$4^{6} = 4^6$
Ответ:
$4^{6} = 0,25^{-6}$

4) $3^{-1} * 7^{-1}$ и $21^{-1}$
$3^{-1} * 7^{-1} = \frac{1}{3} * \frac{1}{7} = \frac{1}{21}$
$21^{-1} = \frac{1}{21}$
$\frac{1}{21} = \frac{1}{21}$
Ответ:
$3^{-1} * 7^{-1} = 21^{-1}$

5) $5^{-1} - 7^{-1}$ и $2^{-1}$
$5^{-1} - 7^{-1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{7} = \frac{7 - 5}{35} = \frac{2}{35}$
$2^{-1} = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{35} < \frac{1}{2}$
Ответ:
$5^{-1} - 7^{-1} < 2^{-1}$

6) $(\frac{1}{3})^{-1} + (\frac{1}{2})^{-1}$ и $(\frac{1}{3} + \frac{1}{2})^{-1}$
$(\frac{1}{3})^{-1} + (\frac{1}{2})^{-1} = 3 + 2 = 5$
$(\frac{1}{3} + \frac{1}{2})^{-1} = (\frac{2 + 3}{6})^{-1} = (\frac{5}{6})^{-1} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$
$5 > 1\frac{1}{5}$
Ответ:
$(\frac{1}{3})^{-1} + (\frac{1}{2})^{-1} > (\frac{1}{3} + \frac{1}{2})^{-1}$

255. Сравните значения выражений:
1) $3^{-2}$ и $(-3)^{0}$;
2) $3^{-1} + 2^{-1}$ и $5^{-1}$;
3) $(\frac{1}{4})^{-2} - (\frac{1}{5})^{-2}$ и $(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-2}$.

Решение:

1) $3^{-2}$ и $(-3)^{0}$
$3^{-2} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$
$(-3)^{0} = 1$
$\frac{1}{9} < 1$
Ответ:
$3^{-2} < (-3)^{0}$

2) $3^{-1} + 2^{-1}$ и $5^{-1}$
$3^{-1} + 2^{-1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2 + 3}{6} = \frac{5}{6} = \frac{25}{30}$
$5^{-1} = \frac{1}{5} = \frac{6}{30}$
$\frac{25}{30} > \frac{6}{30}$
Ответ:
$3^{-1} + 2^{-1} > 5^{-1}$

3) $(\frac{1}{4})^{-2} - (\frac{1}{5})^{-2}$ и $(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-2}$
$(\frac{1}{4})^{-2} - (\frac{1}{5})^{-2} = 4^2 - 5^2 = 16 - 25 = -9$
$(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-2} = (\frac{5 - 4}{20})^{-2} = (\frac{1}{20})^{-2} = 20^2 = 400$
−9 < 400
Ответ:
$(\frac{1}{4})^{-2} - (\frac{1}{5})^{-2} < (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-2}$

256. Представьте в виде дроби выражение:
1) $ab^{-1} + a^{-1}b$;
2) $3a^{-1} + ab^{-2}$;
3) $m^2n^2(m^{-3} - n^{-3})$;
4) $(a + b)^{-1} * (a^{-1} + b^{-1})$;
5) $(c^{-2} - d^{-2}) : (c + d)$;
6) $(xy^{-2} + x^{-2}y) * (\frac{x^2 - xy + y^2}{x})^{-1}$.

Решение:

1) $ab^{-1} + a^{-1}b = a * \frac{1}{b} + \frac{1}{a}b = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$

2) $3a^{-1} + ab^{-2} = 3 * \frac{1}{a} + a * \frac{1}{b^2} = \frac{3}{a} + \frac{a}{b^2} = \frac{3b^2 + a^2}{ab^2}$

3) $m^2n^2(m^{-3} - n^{-3}) = m^2n^2 * (\frac{1}{m^3} - \frac{1}{n^3}) = m^2n^2 * \frac{n^3 - m^3}{m^3n^3} = \frac{n^3 - m^3}{mn}$

4) $(a + b)^{-1} * (a^{-1} + b^{-1}) = \frac{1}{a + b} * (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{1}{a + b} * \frac{b + a}{ab} = \frac{1}{ab}$

5) $(c^{-2} - d^{-2}) : (c + d) = (\frac{1}{c^2} - \frac{1}{d^2}) * \frac{1}{c + d} = \frac{d^2 - c^2}{c^2d^2} * \frac{1}{c + d} = \frac{(d - c)(d + c)}{c^2d^2} * \frac{1}{c + d} = \frac{d - c}{c^2d^2}$

6) $(xy^{-2} + x^{-2}y) * (\frac{x^2 - xy + y^2}{x})^{-1} = (x * \frac{1}{y^2} + \frac{1}{x^2} * y) * \frac{x}{x^2 - xy + y^2} = (\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}) * \frac{x}{x^2 - xy + y^2} = \frac{x^3 + y^3}{x^2y^2} * \frac{x}{x^2 - xy + y^2} = \frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{xy^2} * \frac{1}{x^2 - xy + y^2} = \frac{x + y}{xy^2}$