Ответы к странице 169
661. При каких значениях переменной:
1) значения многочленов 6x2−2 и 5 − x равны;
2) значение двучлена y − 6 равно значению трехчлена y2−9y+3;
3) трехчлены 4m2+4m+2 и 2m2+10m+8 принимают равные значения?
Решение:
1) 6x2−2=5−x
6x2−2−5+x=0
6x2+x−7=0
D=b2−4ac=12−4∗6∗(−7)=1+168=169>0
x1=−b+√D2a=−1+√1692∗6=−1+1312=1212=1
x2=−b−√D2a=−1−√1692∗6=−1−1312=−1412=−76=−116
Ответ: при x=−116 и x = 1
2) y−6=y2−9y+3
y−6−y2+9y−3=0
−y2+10y−9=0
D=b2−4ac=102−4∗(−1)∗(−9)=100−36=64>0
y1=−b+√D2a=−10+√642∗(−1)=−10+8−2=−2−2=1
y2=−b−√D2a=−10−√642∗(−1)=−10−8−2=−18−2=9
Ответ: при y = 1 и y = 9
3) 4m2+4m+2=2m2+10m+8
4m2+4m+2−2m2−10m−8=0
2m2−6m−6=0 |: 2
m2−3m−3=0
D=b2−4ac=(−3)2−4∗1∗(−3)=9+12=21>0
m1=−b+√D2a=3+√212∗1=3+√212
m2=−b−√D2a=3−√212=3−√212
Ответ: при m=3−√212 и m=3+√212
662. При каких значениях переменной:
1) значение двучлена 4x + 4 равно значению трехчлена 3x2+5x−10;
2) значения трехчленов 10p2+10p+8 и 3p2−10p+11 равны?
Решение:
1) 4x+4=3x2+5x−10
4x+4−3x2−5x+10=0
−3x2−x+14=0
D=b2−4ac=(−1)2−4∗(−3)∗14=1+168=169>0
x1=−b+√D2a=1+√1692∗(−3)=1+13−6=14−6=−73=−213
x2=−b−√D2a=1−√1692∗(−3)=1−13−6=−12−6=2
Ответ: при x=−213 и x = 2
2) 10p2+10p+8=3p2−10p+11
10p2+10p+8−3p2+10p−11=0
7p2+20p−3=0
D=b2−4ac=202−4∗7∗(−3)=400+84=484>0
p1=−b+√D2a=−20+√4842∗7=−20+2214=214=17
p2=−b−√D2a=−20−√4842∗7=−20−2214=−4214=−3
Ответ: при p = −3 и p=17
663. Найдите корни уравнения:
1) (2x − 5)(x + 2) = 18;
2) (4x−3)2+(3x−1)(3x+1)=9;
3) (x+3)2−(2x−1)2=16;
4) (x−6)2−2x(x+3)=30−12x;
5) (x + 7)(x − 8) − (4x + 1)(x − 2) = −21x;
6) (2x − 1)(2x + 1) − x(1 − x) = 2x(x + 1).
Решение:
1) (2x − 5)(x + 2) = 18
2x2−5x+4x−10−18=0
2x2−x−28=0
D=b2−4ac=(−1)2−4∗2∗(−28)=1+224=225>0
x1=−b+√D2a=1+√2252∗2=1+154=164=4
x2=−b−√D2a=1−√2252∗2=1−154=−144=−72=−3,5
Ответ: при x = −3,5 и x = 4
2) (4x−3)2+(3x−1)(3x+1)=9
16x2−24x+9+9x2−1−9=0
25x2−24x−1=0
D=b2−4ac=(−24)2−4∗25∗(−1)=576+100=676>0
x1=−b+√D2a=24+√6762∗25=24+2650=5050=1
x2=−b−√D2a=24−√6762∗25=24−2650=−250=−125
Ответ: при x=−125 и x = 1
3) (x+3)2−(2x−1)2=16
x2+6x+9−(4x2−4x+1)=16
x2+6x+9−4x2+4x−1−16=0
−3x2+10x−8=0
D=b2−4ac=102−4∗(−3)∗(−8)=100−96=4>0
x1=−b+√D2a=−10+√42∗(−3)=−10+2−6=−8−6=43=113
x2=−b−√D2a=−10−√42∗(−3)=−10−2−6=−12−6=2
Ответ: при x=113 и x = 2
4) (x−6)2−2x(x+3)=30−12x
x2−12x+36−2x2−6x−30+12x=0
−x2−6x+6=0
D=b2−4ac=(−6)2−4∗(−1)∗6=36+24=60>0
x1=−b+√D2a=6+√602∗(−1)=6+√4∗15−2=6+2√15−2=−2(3+√15)2=−3−√15
x2=−b−√D2a=6−√602∗(−1)=6−√4∗15−2=6−2√15−2=−2(3−√15)2=−3+√15
Ответ: при x=−3−√15 и x=−3+√15
5) (x + 7)(x − 8) − (4x + 1)(x − 2) = −21x
x2+7x−8x−56−(4x2+x−8x−2)+21x=0
x2−x−56−4x2−x+8x+2+21x=0
−3x2+27x−54=0 |: (−3)
x2−9x+18=0
D=b2−4ac=(−9)2−4∗1∗18=81−72=9>0
x1=−b+√D2a=9+√92∗1=9+32=122=6
x2=−b−√D2a=9−√92∗1=9−32=62=3
Ответ: при x = 3 и x = 6
6) (2x − 1)(2x + 1) − x(1 − x) = 2x(x + 1)
4x2−1−x+x2=2x2+2x
5x2−x−1−2x2−2x=0
3x2−3x−1=0
D=b2−4ac=(−3)2−4∗3∗(−1)=9+12=21>0
x1=−b+√D2a=3+√212∗3=3+√216
x2=−b−√D2a=3−√212∗3=3−√216
Ответ: при x=3−√216 и x=3+√216
664. Решите уравнение:
1) (x−4)2=4x−11;
2) (x+5)2+(x−7)(x+7)=6x−19;
3) (3x − 1)(x + 4) = (2x + 3)(x + 3) − 17.
Решение:
1) (x−4)2=4x−11
x2−8x+16−4x+11=0
x2−12x+27=0
D=b2−4ac=(−12)2−4∗1∗27=144−108=36>0
x1=−b+√D2a=12+√362∗1=12+62=182=9
x2=−b−√D2a=12−√362∗1=12−62=62=3
Ответ: при x = 3 и x = 9
2) (x+5)2+(x−7)(x+7)=6x−19
x2+10x+25+x2−49−6x+19=0
2x2+4x−5=0
D=b2−4ac=42−4∗2∗(−5)=16+40=56>0
x1=−b+√D2a=−4+√562∗2=−4+√4∗144=−4+2√144=2(−2+√14)4=−2+√142
x2=−b−√D2a=−4−√562∗2=−4−√4∗144=−4−2√144=2(−2−√14)4=−2−√142
Ответ: при x=−2−√142 и x=−2+√142
3) (3x − 1)(x + 4) = (2x + 3)(x + 3) − 17
3x2−x+12x−4=2x2+3x+6x+9−17
3x2+11x−4=2x2+9x−8
3x2+11x−4−2x2−9x+8=0
x2+2x+4=0
D=b2−4ac=22−4∗1∗4=4−16=−12<0
Ответ: нет корней
665. Найдите натуральное число, квадрат которого на 42 больше данного числа.
Решение:
Пусть n − искомое натуральное число, тогда:
n2 − квадрат искомого числа.
Так как, квадрат числа на 42 больше самого числа, можно составить уравнение:
n2−n=42
n2−n−42=0
D=b2−4ac=(−1)2−4∗1∗(−42)=1+168=169>0
n1=−b+√D2a=1+√1692∗1=1+132=142=7
n2=−b−√D2a=1−√1692∗1=1−132=−122=−6 − не подходит, так как не является натуральным числом.
Ответ: 7 − искомое натуральное число
666. Найдите периметр прямоугольника, площадь которого равна 70 см2, а одна из сторон на 9 см больше другой.
Решение:
Пусть x (см) − ширина прямоугольника, тогда:
x + 9 (см) − длина прямоугольника.
Так как, площадь прямоугольника равна 70 см2, можно составить уравнение:
x(x + 9) = 70
x2+9x−70=0
D=b2−4ac=92−4∗1∗(−70)=81+280=361>0
x1=−b+√D2a=−9+√3612∗1=−9+192=102=5
x2=−b−√D2a=−9−√3612∗1=−9−192=−282=−14 − не подходит, так как ширина прямоугольника не может быть отрицательной.
Тогда:
x = 5 (см) − ширина прямоугольника;
x + 9 = 5 + 9 = 14 (см) − длина прямоугольника;
P = 2(5 + 14) = 2 * 19 = 38 (см) − периметр прямоугольника.
Ответ: 38 см
667. Произведение двух чисел равно 84. Найдите эти числа, если одно из них на 8 меньше другого.
Решение:
Пусть x − меньшее число, тогда:
x + 8 − большее число.
Так как, произведение данных чисел равно 84, можно составить уравнение:
x(x + 8) = 84
x2+8x−84=0
D=b2−4ac=82−4∗1∗(−84)=64+336=400>0
x1=−b+√D2a=−8+√4002∗1=−8+202=122=6
x2=−b−√D2a=−8−√4002∗1=−8−202=−282=−14
Если x = 6 − меньшее число, то:
x + 8 = 6 + 8 = 14 − большее число.
Если x = −14 − меньшее число, то:
x + 8 = −14 + 8 = −6 − большее число.
Ответ: 6 и 14; −14 и −6.
668. Произведение двух последовательных натуральных чисел на 89 больше их суммы. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть n − меньшее натуральное число, тогда:
n + 1 − большее натуральное число.
Так как, произведение двух последовательных натуральных чисел на 89 больше их суммы, можно составить уравнение:
n(n + 1) − 89 = n + n + 1
n2+n−89−2n−1=0
n2−n−90=0
D=b2−4ac=(−1)2−4∗1∗(−90)=1+360=361>0
n1=−b+√D2a=1+√3612∗1=1+192=202=10
n2=−b−√D2a=1−√3612∗1=1−192=−182=−9 − не удовлетворяет условию задачи, так как не является натуральным числом.
Тогда:
n = 10 − меньшее натуральное число, тогда:
n + 1 = 10 + 1 = 11 − большее натуральное число.
Ответ: 10 и 11
669. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 365. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть n − меньшее натуральное число, тогда:
n + 1 − большее натуральное число.
Так как, сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 365, можно составить уравнение:
n2+(n+1)2=365
n2+n2+2n+1−365=0
2n2+2n−364=0 |: 2
n2+n−182=0
D=b2−4ac=12−4∗1∗(−182)=1+728=729>0
n1=−b+√D2a=−1+√7292∗1=−1+272=262=13
n2=−b−√D2a=−1−√7292∗1=−1−272=−282=−14 − не удовлетворяет условию задачи, так как не является натуральным числом.
Тогда:
n = 13 − меньшее натуральное число, тогда:
n + 1 = 13 + 1 = 14 − большее натуральное число.
Ответ: 13 и 14
670. Решите уравнение:
1) 2x2+x√5−15=0;
2) x2−x(√6−1)−√6=0;
3) x2−48−2x+33=−1;
4) 4x2+x3−x2+179=5x−16.
Решение:
1) 2x2+x√5−15=0
D=b2−4ac=(√5)2−4∗2∗(−15)=5+120=125>0
x1=−b+√D2a=−√5+√1252∗2=−√5+√25∗54=−√5+5√54=4√54=√5
x2=−b−√D2a=−√5−√1252∗2=−√5−√25∗54=−√5−5√54=−6√54=−3√52
Ответ: x=−3√52 и x=√5
2) x2−x(√6−1)−√6=0
D=b2−4ac=(√6−1)2−4∗1∗(−√6)=6−2√6+1+4√6=6+2√6+1=(√6+1)2>0
x1=−b+√D2a=√6−1+√(√6+1)22∗1=√6−1+√6+12=2√62=√6
x2=−b−√D2a=√6−1−√(√6+1)22∗1=√6−1−√6−12=−22=−1
Ответ: x = −1 и x=√6
3) x2−48−2x+33=−1 |* 24
3(x2−4)−8(2x+3)=−24
3x2−12−16x−24+24=0
3x2−16x−12=0
D=b2−4ac=(−16)2−4∗3∗(−12)=256+144=400>0
x1=−b+√D2a=16+√4002∗3=16+206=366=6
x2=−b−√D2a=16−√4002∗3=16−206=−46=−23
Ответ: x=−23 и x = 6
4) 4x2+x3−x2+179=5x−16 |* 18
6(4x2+x)−2(x2+17)=3(5x−1)
24x2+6x−2x2−34=15x−3
22x2+6x−34−15x+3=0
22x2−9x−31=0
D=b2−4ac=(−9)2−4∗22∗(−31)=81+2728=2809>0
x1=−b+√D2a=9+√28092∗22=9+5344=6244=3122=1922
x2=−b−√D2a=9−√28092∗22=9−5344=−4444=−1
Ответ: x = −1 и x=1922
671. Решите уравнение:
1) x2+3x√2+4=0;
2) x2−x(√3+2)+2√3=0;
3) 2x2+x3−x+34=x−1.
Решение:
1) x2+3x√2+4=0
D=b2−4ac=(3√2)2−4∗1∗4=9∗2−16=18−16=2>0
x1=−b+√D2a=−3√2+√22∗1=−2√22=−√2
x2=−b−√D2a=−3√2−√22∗1=−4√22=−2√2
Ответ: x=−2√2 и x=−√2
2) x2−x(√3+2)+2√3=0
D=b2−4ac=(√3+2)2−4∗1∗2√3=3+4√3+4−8√3=3−4√3+4=(√3−2)2>0
x1=−b+√D2a=√3+2+√(√3−2)22∗1=√3+2+√3−22=2√32=√3
x2=−b−√D2a=√3+2−√(√3−2)22∗1=√3+2−(√3−2)2=√3+2−√3+22=42=2
Ответ: x=√3 и x = 2
3) 2x2+x3−x+34=x−1 |* 12
4(2x2+x)−3(x+3)=12(x−1)
8x2+4x−3x−9=12x−12
8x2+x−9−12x+12=0
8x2−11x+3=0
D=b2−4ac=(−11)2−4∗8∗3=121−96=25>0
x1=−b+√D2a=11+√252∗8=11+516=1616=1
x2=−b−√D2a=11−√252∗8=11−516=616=38
Ответ: x=38 и x = 1
672. При каких значениях a число 14 является корнем уравнения a2x2+4ax−5=0?
Решение:
a2x2+4ax−5=0
x=14:
a2∗(14)2+4a∗14−5=0
116a2+a−5=0
D=b2−4ac=12−4∗116∗(−5)=1+54=1+1,25=2,25>0
a1=−b+√D2a=−1+√2,252∗116=−1+1,518=0,5∗8=4
a2=−b−√D2a=−1−√2,252∗116=−1−1,518=−2,5∗8=−20
Ответ: при a = −20 и a = 4
