Ответы к странице 169
661. При каких значениях переменной:
1) значения многочленов $6x^2 - 2$ и 5 − x равны;
2) значение двучлена y − 6 равно значению трехчлена $y^2 - 9y + 3$;
3) трехчлены $4m^2 + 4m + 2$ и $2m^2 + 10m + 8$ принимают равные значения?
Решение:
1) $6x^2 - 2 = 5 - x$
$6x^2 - 2 - 5 + x = 0$
$6x^2 + x - 7 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 6 * (-7) = 1 + 168 = 169 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 * 6} = \frac{-1 + 13}{12} = \frac{12}{12} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 * 6} = \frac{-1 - 13}{12} = \frac{-14}{12} = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6}$
Ответ: при $x = -1\frac{1}{6}$ и x = 1
2) $y - 6 = y^2 - 9y + 3$
$y - 6 - y^2 + 9y - 3 = 0$
$-y^2 + 10y - 9 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * (-1) * (-9) = 100 - 36 = 64 > 0$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 * (-1)} = \frac{-10 + 8}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 * (-1)} = \frac{-10 - 8}{-2} = \frac{-18}{-2} = 9$
Ответ: при y = 1 и y = 9
3) $4m^2 + 4m + 2 = 2m^2 + 10m + 8$
$4m^2 + 4m + 2 - 2m^2 - 10m - 8 = 0$
$2m^2 - 6m - 6 = 0$ |: 2
$m^2 - 3m - 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-3) = 9 + 12 = 21 > 0$
$m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{21}}{2 * 1} = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}$
$m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{21}}{2} = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}$
Ответ: при $m = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}$ и $m = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}$
662. При каких значениях переменной:
1) значение двучлена 4x + 4 равно значению трехчлена $3x^2 + 5x - 10$;
2) значения трехчленов $10p^2 + 10p + 8$ и $3p^2 - 10p + 11$ равны?
Решение:
1) $4x + 4 = 3x^2 + 5x - 10$
$4x + 4 - 3x^2 - 5x + 10 = 0$
$-3x^2 - x + 14 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * (-3) * 14 = 1 + 168 = 169 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{169}}{2 * (-3)} = \frac{1 + 13}{-6} = \frac{14}{-6} = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{169}}{2 * (-3)} = \frac{1 - 13}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2$
Ответ: при $x = -2\frac{1}{3}$ и x = 2
2) $10p^2 + 10p + 8 = 3p^2 - 10p + 11$
$10p^2 + 10p + 8 - 3p^2 + 10p - 11 = 0$
$7p^2 + 20p - 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 * 7 * (-3) = 400 + 84 = 484 > 0$
$p_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + \sqrt{484}}{2 * 7} = \frac{-20 + 22}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
$p_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - \sqrt{484}}{2 * 7} = \frac{-20 - 22}{14} = \frac{-42}{14} = -3$
Ответ: при p = −3 и $p = \frac{1}{7}$
663. Найдите корни уравнения:
1) (2x − 5)(x + 2) = 18;
2) $(4x - 3)^2 + (3x - 1)(3x + 1) = 9$;
3) $(x + 3)^2 - (2x - 1)^2 = 16$;
4) $(x - 6)^2 - 2x(x + 3) = 30 - 12x$;
5) (x + 7)(x − 8) − (4x + 1)(x − 2) = −21x;
6) (2x − 1)(2x + 1) − x(1 − x) = 2x(x + 1).
Решение:
1) (2x − 5)(x + 2) = 18
$2x^2 - 5x + 4x - 10 - 18 = 0$
$2x^2 - x - 28 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 2 * (-28) = 1 + 224 = 225 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{225}}{2 * 2} = \frac{1 + 15}{4} = \frac{16}{4} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{225}}{2 * 2} = \frac{1 - 15}{4} = \frac{-14}{4} = \frac{-7}{2} = -3,5$
Ответ: при x = −3,5 и x = 4
2) $(4x - 3)^2 + (3x - 1)(3x + 1) = 9$
$16x^2 - 24x + 9 + 9x^2 - 1 - 9 = 0$
$25x^2 - 24x - 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 * 25 * (-1) = 576 + 100 = 676 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + \sqrt{676}}{2 * 25} = \frac{24 + 26}{50} = \frac{50}{50} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - \sqrt{676}}{2 * 25} = \frac{24 - 26}{50} = \frac{-2}{50} = -\frac{1}{25}$
Ответ: при $x = -\frac{1}{25}$ и x = 1
3) $(x + 3)^2 - (2x - 1)^2 = 16$
$x^2 + 6x + 9 - (4x^2 - 4x + 1) = 16$
$x^2 + 6x + 9 - 4x^2 + 4x - 1 - 16 = 0$
$-3x^2 + 10x - 8 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * (-3) * (-8) = 100 - 96 = 4 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{4}}{2 * (-3)} = \frac{-10 + 2}{-6} = \frac{-8}{-6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - \sqrt{4}}{2 * (-3)} = \frac{-10 - 2}{-6} = \frac{-12}{-6} = 2$
Ответ: при $x = 1\frac{1}{3}$ и x = 2
4) $(x - 6)^2 - 2x(x + 3) = 30 - 12x$
$x^2 - 12x + 36 - 2x^2 - 6x - 30 + 12x = 0$
$-x^2 - 6x + 6 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * (-1) * 6 = 36 + 24 = 60 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{60}}{2 * (-1)} = \frac{6 + \sqrt{4 * 15}}{-2} = \frac{6 + 2\sqrt{15}}{-2} = -\frac{2(3 + \sqrt{15})}{2} = -3 - \sqrt{15}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{60}}{2 * (-1)} = \frac{6 - \sqrt{4 * 15}}{-2} = \frac{6 - 2\sqrt{15}}{-2} = -\frac{2(3 - \sqrt{15})}{2} = -3 + \sqrt{15}$
Ответ: при $x = -3 - \sqrt{15}$ и $x = -3 + \sqrt{15}$
5) (x + 7)(x − 8) − (4x + 1)(x − 2) = −21x
$x^2 + 7x - 8x - 56 - (4x^2 + x - 8x - 2) + 21x = 0$
$x^2 - x - 56 - 4x^2 - x + 8x + 2 + 21x = 0$
$-3x^2 + 27x - 54 = 0$ |: (−3)
$x^2 - 9x + 18 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 1 * 18 = 81 - 72 = 9 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 * 1} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Ответ: при x = 3 и x = 6
6) (2x − 1)(2x + 1) − x(1 − x) = 2x(x + 1)
$4x^2 - 1 - x + x^2 = 2x^2 + 2x$
$5x^2 - x - 1 - 2x^2 - 2x = 0$
$3x^2 - 3x - 1 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 3 * (-1) = 9 + 12 = 21 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{21}}{2 * 3} = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{21}}{2 * 3} = \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$
Ответ: при $x = \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$ и $x = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$
664. Решите уравнение:
1) $(x - 4)^2 = 4x - 11$;
2) $(x + 5)^2 + (x - 7)(x + 7) = 6x - 19$;
3) (3x − 1)(x + 4) = (2x + 3)(x + 3) − 17.
Решение:
1) $(x - 4)^2 = 4x - 11$
$x^2 - 8x + 16 - 4x + 11 = 0$
$x^2 - 12x + 27 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 * 1 * 27 = 144 - 108 = 36 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{36}}{2 * 1} = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Ответ: при x = 3 и x = 9
2) $(x + 5)^2 + (x - 7)(x + 7) = 6x - 19$
$x^2 + 10x + 25 + x^2 - 49 - 6x + 19 = 0$
$2x^2 + 4x - 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 2 * (-5) = 16 + 40 = 56 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{56}}{2 * 2} = \frac{-4 + \sqrt{4 * 14}}{4} = \frac{-4 + 2\sqrt{14}}{4} = \frac{2(-2 + \sqrt{14})}{4} = \frac{-2 + \sqrt{14}}{2}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{56}}{2 * 2} = \frac{-4 - \sqrt{4 * 14}}{4} = \frac{-4 - 2\sqrt{14}}{4} = \frac{2(-2 - \sqrt{14})}{4} = \frac{-2 - \sqrt{14}}{2}$
Ответ: при $x = \frac{-2 - \sqrt{14}}{2}$ и $x = \frac{-2 + \sqrt{14}}{2}$
3) (3x − 1)(x + 4) = (2x + 3)(x + 3) − 17
$3x^2 - x + 12x - 4 = 2x^2 + 3x + 6x + 9 - 17$
$3x^2 + 11x - 4 = 2x^2 + 9x - 8$
$3x^2 + 11x - 4 - 2x^2 - 9x + 8 = 0$
$x^2 + 2x + 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * 4 = 4 - 16 = -12 < 0$
Ответ: нет корней
665. Найдите натуральное число, квадрат которого на 42 больше данного числа.
Решение:
Пусть n − искомое натуральное число, тогда:
$n^2$ − квадрат искомого числа.
Так как, квадрат числа на 42 больше самого числа, можно составить уравнение:
$n^2 - n = 42$
$n^2 - n - 42 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-42) = 1 + 168 = 169 > 0$
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{169}}{2 * 1} = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{169}}{2 * 1} = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6$ − не подходит, так как не является натуральным числом.
Ответ: 7 − искомое натуральное число
666. Найдите периметр прямоугольника, площадь которого равна 70 $см^2$, а одна из сторон на 9 см больше другой.
Решение:
Пусть x (см) − ширина прямоугольника, тогда:
x + 9 (см) − длина прямоугольника.
Так как, площадь прямоугольника равна 70 $см^2$, можно составить уравнение:
x(x + 9) = 70
$x^2 + 9x - 70 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 * 1 * (-70) = 81 + 280 = 361 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{361}}{2 * 1} = \frac{-9 + 19}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{361}}{2 * 1} = \frac{-9 - 19}{2} = \frac{-28}{2} = -14$ − не подходит, так как ширина прямоугольника не может быть отрицательной.
Тогда:
x = 5 (см) − ширина прямоугольника;
x + 9 = 5 + 9 = 14 (см) − длина прямоугольника;
P = 2(5 + 14) = 2 * 19 = 38 (см) − периметр прямоугольника.
Ответ: 38 см
667. Произведение двух чисел равно 84. Найдите эти числа, если одно из них на 8 меньше другого.
Решение:
Пусть x − меньшее число, тогда:
x + 8 − большее число.
Так как, произведение данных чисел равно 84, можно составить уравнение:
x(x + 8) = 84
$x^2 + 8x - 84 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 1 * (-84) = 64 + 336 = 400 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{400}}{2 * 1} = \frac{-8 + 20}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{400}}{2 * 1} = \frac{-8 - 20}{2} = \frac{-28}{2} = -14$
Если x = 6 − меньшее число, то:
x + 8 = 6 + 8 = 14 − большее число.
Если x = −14 − меньшее число, то:
x + 8 = −14 + 8 = −6 − большее число.
Ответ: 6 и 14; −14 и −6.
668. Произведение двух последовательных натуральных чисел на 89 больше их суммы. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть n − меньшее натуральное число, тогда:
n + 1 − большее натуральное число.
Так как, произведение двух последовательных натуральных чисел на 89 больше их суммы, можно составить уравнение:
n(n + 1) − 89 = n + n + 1
$n^2 + n - 89 - 2n - 1 = 0$
$n^2 - n - 90 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-90) = 1 + 360 = 361 > 0$
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{361}}{2 * 1} = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{361}}{2 * 1} = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9$ − не удовлетворяет условию задачи, так как не является натуральным числом.
Тогда:
n = 10 − меньшее натуральное число, тогда:
n + 1 = 10 + 1 = 11 − большее натуральное число.
Ответ: 10 и 11
669. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 365. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть n − меньшее натуральное число, тогда:
n + 1 − большее натуральное число.
Так как, сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 365, можно составить уравнение:
$n^2 + (n + 1)^2 = 365$
$n^2 + n^2 + 2n + 1 - 365 = 0$
$2n^2 + 2n - 364 = 0$ |: 2
$n^2 + n - 182 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-182) = 1 + 728 = 729 > 0$
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{729}}{2 * 1} = \frac{-1 + 27}{2} = \frac{26}{2} = 13$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{729}}{2 * 1} = \frac{-1 - 27}{2} = \frac{-28}{2} = -14$ − не удовлетворяет условию задачи, так как не является натуральным числом.
Тогда:
n = 13 − меньшее натуральное число, тогда:
n + 1 = 13 + 1 = 14 − большее натуральное число.
Ответ: 13 и 14
670. Решите уравнение:
1) $2x^2 + x\sqrt{5} - 15 = 0$;
2) $x^2 - x(\sqrt{6} - 1) - \sqrt{6} = 0$;
3) $\frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{3} = -1$;
4) $\frac{4x^2 + x}{3} - \frac{x^2 + 17}{9} = \frac{5x - 1}{6}$.
Решение:
1) $2x^2 + x\sqrt{5} - 15 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (\sqrt{5})^2 - 4 * 2 * (-15) = 5 + 120 = 125 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\sqrt{5} + \sqrt{125}}{2 * 2} = \frac{-\sqrt{5} + \sqrt{25 * 5}}{4} = \frac{-\sqrt{5} + 5\sqrt{5}}{4} = \frac{4\sqrt{5}}{4} = \sqrt{5}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\sqrt{5} - \sqrt{125}}{2 * 2} = \frac{-\sqrt{5} - \sqrt{25 * 5}}{4} = \frac{-\sqrt{5} - 5\sqrt{5}}{4} = \frac{-6\sqrt{5}}{4} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$
Ответ: $x = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$ и $x = \sqrt{5}$
2) $x^2 - x(\sqrt{6} - 1) - \sqrt{6} = 0$
$D = b^2 - 4ac = (\sqrt{6} - 1)^2 - 4 * 1 * (-\sqrt{6}) = 6 - 2\sqrt{6} + 1 + 4\sqrt{6} = 6 + 2\sqrt{6} + 1 = (\sqrt{6} + 1)^2 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{\sqrt{6} - 1 + \sqrt{(\sqrt{6} + 1)^2}}{2 * 1} = \frac{\sqrt{6} - 1 + \sqrt{6} + 1}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{\sqrt{6} - 1 - \sqrt{(\sqrt{6} + 1)^2}}{2 * 1} = \frac{\sqrt{6} - 1 - \sqrt{6} - 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: x = −1 и $x = \sqrt{6}$
3) $\frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{3} = -1$ |* 24
$3(x^2 - 4) - 8(2x + 3) = -24$
$3x^2 - 12 - 16x - 24 + 24 = 0$
$3x^2 - 16x - 12 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 * 3 * (-12) = 256 + 144 = 400 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + \sqrt{400}}{2 * 3} = \frac{16 + 20}{6} = \frac{36}{6} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - \sqrt{400}}{2 * 3} = \frac{16 - 20}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
Ответ: $x = -\frac{2}{3}$ и x = 6
4) $\frac{4x^2 + x}{3} - \frac{x^2 + 17}{9} = \frac{5x - 1}{6}$ |* 18
$6(4x^2 + x) - 2(x^2 + 17) = 3(5x - 1)$
$24x^2 + 6x - 2x^2 - 34 = 15x - 3$
$22x^2 + 6x - 34 - 15x + 3 = 0$
$22x^2 - 9x - 31 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 22 * (-31) = 81 + 2728 = 2809 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{2809}}{2 * 22} = \frac{9 + 53}{44} = \frac{62}{44} = \frac{31}{22} = 1\frac{9}{22}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{2809}}{2 * 22} = \frac{9 - 53}{44} = \frac{-44}{44} = -1$
Ответ: x = −1 и $x = 1\frac{9}{22}$
671. Решите уравнение:
1) $x^2 + 3x\sqrt{2} + 4 = 0$;
2) $x^2 - x(\sqrt{3} + 2) + 2\sqrt{3} = 0$;
3) $\frac{2x^2 + x}{3} - \frac{x + 3}{4} = x - 1$.
Решение:
1) $x^2 + 3x\sqrt{2} + 4 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (3\sqrt{2})^2 - 4 * 1 * 4 = 9 * 2 - 16 = 18 - 16 = 2 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2 * 1} = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 * 1} = \frac{-4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$
Ответ: $x = -2\sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$
2) $x^2 - x(\sqrt{3} + 2) + 2\sqrt{3} = 0$
$D = b^2 - 4ac = (\sqrt{3} + 2)^2 - 4 * 1 * 2\sqrt{3} = 3 + 4\sqrt{3} + 4 - 8\sqrt{3} = 3 - 4\sqrt{3} + 4 = (\sqrt{3} - 2)^2 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{\sqrt{3} + 2 + \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2}}{2 * 1} = \frac{\sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} - 2}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{\sqrt{3} + 2 - \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2}}{2 * 1} = \frac{\sqrt{3} + 2 - (\sqrt{3} - 2)}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Ответ: $x = \sqrt{3}$ и x = 2
3) $\frac{2x^2 + x}{3} - \frac{x + 3}{4} = x - 1$ |* 12
$4(2x^2 + x) - 3(x + 3) = 12(x - 1)$
$8x^2 + 4x - 3x - 9 = 12x - 12$
$8x^2 + x - 9 - 12x + 12 = 0$
$8x^2 - 11x + 3 = 0$
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 * 8 * 3 = 121 - 96 = 25 > 0$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{25}}{2 * 8} = \frac{11 + 5}{16} = \frac{16}{16} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{25}}{2 * 8} = \frac{11 - 5}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$
Ответ: $x = \frac{3}{8}$ и x = 1
672. При каких значениях a число $\frac{1}{4}$ является корнем уравнения $a^2x^2 + 4ax - 5 = 0$?
Решение:
$a^2x^2 + 4ax - 5 = 0$
$x = \frac{1}{4}$:
$a^2 * (\frac{1}{4})^2 + 4a * \frac{1}{4} - 5 = 0$
$\frac{1}{16}a^2 + a - 5 = 0$
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * \frac{1}{16} * (-5) = 1 + \frac{5}{4} = 1 + 1,25 = 2,25 > 0$
$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{2,25}}{2 * \frac{1}{16}} = \frac{-1 + 1,5}{\frac{1}{8}} = 0,5 * 8 = 4$
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{2,25}}{2 * \frac{1}{16}} = \frac{-1 - 1,5}{\frac{1}{8}} = -2,5 * 8 = -20$
Ответ: при a = −20 и a = 4
