Ответы к странице 108
429. Запишите множество корней уравнения:
1) x(x − 1) = 0;
2) (x−2)(x2−4)=0;
3) x = 2;
4) x2+3=0.
Решение:
1) x(x − 1) = 0
x = 0
или
x − 1 = 0
x = 1
Ответ: {0; 1}
2) (x−2)(x2−4)=0
x − 2 = 0
x = 2
или
x2−4=0
x2=4
x = ±2
Ответ: {−2; 2}
3) x = 2
Ответ: {2}
4) x2+3=0
x2=−3 − нет корней
Ответ: {∅}
430. Задайте с помощью перечисления элементов множество:
1) правильных дробей со знаменателем 7;
2) правильных дробей, знаменатель которых не больше 4;
3) букв слова "математика";
4) цифр числа 5555.
Решение:
1) {17,27,37,47,57,67,77}
2) {12,13,14,23,24,34}
3) {м, а, т, е, и, к}
4) {5}
431. Равны ли множества A и B, если:
1) A = {1, 2}, B = {2, 1};
2) A = {(1; 0)}, B = {(0; 1)};
3) A = {1}, B = {{1}}?
Решение:
1) A = {1, 2}, B = {2, 1}
A = B
2) A = {(1; 0)}, B = {(0; 1)}
A ≠ B
3) A = {1}, B = {{1}}
A ≠ B
432. Равны ли множества A и B, если:
1) A − множество корней уравнения |x| = x, B − множество неотрицательных чисел;
2) A − множество четырехугольников, у которых противоположные стороны попарно равны; B − множество четырехугольников, у которых диагонали точкой пересечения делятся пополам?
Решение:
1) |x| = x
x ≥ 0, следовательно A = B
2) A = B
433. Какие из следующих множеств равны пустому множеству:
1) множество треугольников, сумма углов которых равна 181°;
2) множество горных вершин высотой более 8800 м;
3) множество остроугольных треугольников, медиана которых равна половине стороны, к которой она проведена;
4) множество функций, графиками которых являются окружности?
Решение:
1) Пустое множество, так как сумма углов любого треугольника всегда равна 180°.
2) Не является пустым множеством, так как высота Джомолунгмы (Эвереста) равна 8848 м.
3) Не является пустым множеством, так как существуют такие остроугольные треугольники медиана которых равна половине стороны, к которой она проведена.
4) Пустое множество, так как окружность не может быть графиком не одной из функций.
434. Упростите выражение:
1) 5bb−3−b+62b−6∗90b2+6b;
2) b+2b2−2b+1:b2−43b−3−3b−2.
Решение:
1) 5bb−3−b+62b−6∗90b2+6b=5bb−3−b+62(b−3)∗90b(b+6)=5bb−3−1b−3∗45b=5bb−3−45b(b−3)=5b2−45b(b−3)=5(b2−9)b(b−3)=5(b−3)(b+3)b(b−3)=5(b+3)b
2) b+2b2−2b+1:b2−43b−3−3b−2=b+2(b−1)2:(b−2)(b+2)3(b−1)−3b−2=b+2(b−1)2∗3(b−1)(b−2)(b+2)−3b−2=1b−1∗3b−2−3b−2=3b−2(1b−1−1)=3b−2∗1−(b−1)b−1=3b−2∗1−b+1b−1=3b−2∗2−bb−1=−32−b∗2−bb−1=−3b−1=31−b
435. Моторная лодка проплыла 36 км по течению реки за 3 ч и 36,8 км против течения за 4 ч. Какова скорость течения реки?
Решение:
1) 36 : 3 = 12 (км/ч) − скорость лодки по течению реки;
2) 36,8 : 4 = 9,2 (км/ч) − скорость лодки против течения реки;
3) 12 − 9,2 = 2,8 (км/ч) − удвоенная скорость течения реки;
4) 2,8 : 2 = 1,4 (км/ч) − скорость течения реки.
Ответ: 1,4 км/ч
436. В коробке лежат 42 карандаша, из них 14 карандашей − красные, 16 карандашей − синие, а остальные − зеленые. Какова вероятность того, что наугад взятый карандаш не будет ни красным, ни синим?
Решение:
1/) 42 − (14 + 16) = 42 − 30 = 12 (карандашей) − зеленых (не красных и не синих);
2) 1242=27 − вероятность того, что наугад взятый карандаш не будет ни красным, ни синим.
Ответ: 27
№437. Петя и Коля ежедневно записывают по одному числу. В первый день каждый из мальчиков записал число 1. В каждый последующий день Петя записывает число 1, а Коля − число, равное сумме чисел, записанных мальчиками за предыдущие дни. Может ли в какой−то день Коля записать число, оканчивающееся на 101?
Решение:
Составим таблицу записей мальчиков:
день Петя Коля
1 1 1
2 1 2
3 1 5
4 1 11
5 1 23
6 1 47
7 1 95
8 1 191
Заметим, что начиная с третьего дня все числа, записанные Колей, являются нечётными. Действительно, если в некоторый день, начиная со второго, Коля записал число x, то на следующий день он запишет число 2x + 1.
Предположим, что в некоторый день Коля записал число, заканчивающееся на 101. Тогда в предыдущий день им было записано число, заканчивающееся на 50, а такое число является чётным. Получили противоречие.
Ответ: Коля не может записать число, оканчивающееся на 101.
